NGATINI, S.Pd. M.Pd KURIKULUM 13 LEMBAR KERJA SISWA (LKS) MATEMATIKA IB UNTUK SMP KELAS VII SEMESTER GENAP PRAKATA LKS Matematika ini membantumu belajar matematika dalam kehidupan sehari – hari. LKS ini disusun dengan menggunakan bahasa yang mudah dipahami. Dengan harapan siswa lebih tertarik dan suka belajar matematika. Agar lebih mudah mempelajari LKS ini disusun yang sederhana menuju yang lebih kompleks. Beberapa hal dimulai dari yang kongkret menuju yang abstrak. Setelah mempelajari buku ini diharapkan siswa dapat belajar matematika secara tuntas sehingga siswa memiliki penguasaan teori yang tinggi dan mantap untuk menjadi tumpuan dan dapat diandalkan memecahkan berbagai masalah. Akhirnya semoga LKS ini bermanfaat dan jangan segan untuk bertanya jika menemui kesulitan selamat belajar, dan semoga sukses. Purwodadi, Mei 2014 Penulis BAB I PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINIER SATU VARIABEL Kurikulum 2013 Kompetensi Dasar : • Menunjukkan sikap logis, kritis, analitik konsisten dan teliti, bertanggung jawab, responsive dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah. • Memiliki rasa ingin tahu, percaya diri, dan ketertarikan serta memilih rasa percaya pada daya dan kegunaan matematika yang terbentuk melalui pengalaman belajar. • Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel • Membuat dan menyelesaikan model matematika dari masalah nyata yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel. Pengalaman Belajar : Melatih proses pembelajaran materi persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel, siswa memiliki pengalaman belajar : • Terlatih berfikir kritis dan berfikir kreatif • Menemukan ilmu pengetahuan dari pemecahan masalah nyata • Dilatih bekerjasama dalam tim untuk menemukan solusi permasalahan • Dilatih mengajukan ide-ide bebas dan terbuka, • Merasakan manfaat matematika dalam kehidupan sehari-hari. A. Kalimat Terbuka 1. Pernyataan Kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya disebut pernyataan. 2. Kalimat terbuka dan himpunan penyelesaian kalimat terbuka. Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel dart belum diketahui nilai kebenarannya. Himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka adalah himpunan semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka sehingga kalimat tersebut bernilai benar. B. Persamaan Linear Satu Variabel 1. Pengertian persamaan dan himpunan penyelesaian persamaan linear satu ariabel. Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan dan hanya mempunyai satu variabel berpangkat satu. Dari kalimat berikut, tentukan yang merupakan persamaan linear satu variabel. a. 2x – 3 = 5 c. x = 5 b. x+ - x = 2 d. 2x + 3y = 6 Penyelesaian : Yang merupakan persamaan linear satu variabel adalah a. 2 x - 3 = 5 dan ….. 2. Himpunan penyelesaian persamaan linear satu variabel dengan subtitusi. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x + 4 = 7. Jika x variabel pada himpunan bilangan cacah. Penyelesaian : Subtitusi x = 0, maka 0 + 4 = 7 ( kalimat .... ) Subtitusi x = 1, maka 1 + 4 = 7 ( kalimat .... ) Subtitusi x = 2, maka 2 + 4 = 7 ( kalimat .... ) Subtitusi x = 3, maka 3 + 4 = 7 ( kalimat .... ) Subtitusi x = 4, maka 4 + 4 = 7 ( kalimat . ... ) Jadi, himpunan penyelesaian persamaan x + 4 = 7 adalah .... 3. Persamaan - persamaan yang ekuivalen. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 4x - 4 = 3x + 5 jika x variabel pada himpunan bilangan bulat. Penyelesaian : 4x – 4 = 3x + 5 4x – 3 + 3 = 3x + 5 + ... 4x = 3x + ... 4x – 3x = 3x – 3x + ... x = …. 4. Menyelesaikan persamaan Linear satu variabel bentuk pecahan. Tentukan penyelesaian dari persamaan x – 2 = , jika x variabel pada himpunan bilangan rasional. Penyelesaian : x – 2 = 10 = 10 2x – 20 = 5 (x - 1) 2x + 20 + 20 = 5x – 5 + 20 2x = 5x + 15 2x – 5x = 5x + 15 - 5x -3x = ... (-3x ) : (-3 ) = ... : (-3) x = ... Jadi himpunan penyelesaian persamaan x – 2 = adalah .... 5. Grafik Himpunan penyelesaian persamaan linear satu variabel. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 4 ( 2x + 3 ) = 10x + 8, gambarlah pada garis bilangan. Penyelesaian : 4 (2x + 3) = 10x + 8 8x + 12 =10x + 8 8x + 12 – 12 = 10x + 8 – 12 8x = 10x – 4 8x - 10x = 10x - 4 - 10x 2x = ... 2x : (-2) = ... : (-2) x = ... Himpunan penyelesaiannya = ... Grafik himpunan penyelesaiannya sebagai berikut C. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel 1. Pengertian Ketidaksamaan Suatu ketidaksamaan selalu ditandai dengan salah satu tanda hubung berikut. “ < “ untuk menyatakan kurang dari. “ > “ untuk menyatakan ... “ ≤ “ untuk menyatakan tidak lebih dari dan kurang dari atau sama dangan “ ≥ “ untuk menyatakan tidak kurang dari atau ... 2. Pertidaksamaan linear satu variabel. Dari bentuk-bentuk berikut, tentukan yang merupakan pertidaksamaan linear dengan satu variabel. a. x – 3 < 5 b. a < 1 – 2b c. x2 – 3x ≥ 4 Penyelesaian : … 3. Penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4x - 2 > 3x + 5 dengan x variabel pada himpunan bilangan cacah. Penyelesaian : 4x – 2 > 3x + 5 4x – 2 + 2 > 3x + 5 + 2 4x > ... + ... 4x - (3x) > 3x + (-3x) + ... x > ... Karena x variabel pada himpunan bilangan cacah maka himpunan penyelesaiannya adalah ( ... , ... , ... , ... ) 4. Pertidaksamaan linear satu variabel bentuk pecahan Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan x + 3 ≤ x dengan x variabel pada { -15, -4, ..., 0 }. Penyelesaian : x + 3 ≤ x 10 ≤ x x 10 5x + 30 ≤ ... 5x + 30 - 30 ≤ ... -30 5x – 2x ≤ ... 3x ≤ ... 3x : 3 ≤ ... x ≤ ... Jadi himpunan penyelesaian adalah x = { ... } 5. Grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel. Tentukan himpunan penyelesaiandari pertidaksamaan 4x - 2 ≤ 5 + 3x, untuk x variabel pada himpunan bilangan asli, kemudian gambarlah grafik himpunan penyelasaiannya. Penyelesaian : 4x – 2 ≤ 5 + 3x 4x – 2 + 2 ≤ 5 + 3x + 2 4x ≤ 3x + …. 4x + (-3x) ≤ 3x + (-3x) +... x ≤ ... jadi himpunan penyelesaiannya adalah : { ... } Jenis bilangan yang menunjukkan himpunan penyelesaiannya sebagai berikut. D. Membuat Model Matematika dan Menyelesaiakan Soal Cerita yang Berkaitan Dengan Persamaan Linear Satu Variabel. Seorang petani mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi panjang, lebar tanah tersebut 6 m lebih pendek dari pada panjangnya. Jika keliling tanah 60 m, tentukan luas tanah petani tersebut. Penyelesaian : Misalkan panjang tanah = x maka lebar tanah = x - 6 p = x,ℓ = x – 6 K = 2 (p x ℓ) K = 2 (x + x – 6) 60 = 2 (x + x – 6) 60 = 2 (2x - 6) 60 = 4x – 12 60 + 12 = 4x – 12 + 12 72 = ... = … = x Luas = p x ℓ = … x … = … Jadi,luas tanah petani tersebut adalah ... m2 E. Membuat Model Matematika dan Menyelesaiakan Soai Cerita yang Berkaitan dengan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel. Permukaan sebuah meja berbentuk persegi panjang dengan panjang 16x cm dan lebar 10x cm. Jika luasnya tidak kurang dari 40 dm2, tentukan ukuran minimum permukaan meja tersebut. Penyelesaian : Diketahui panjang permukaan meja (p) = 16x, lebar (ℓ) = 10x, dan luas = L L = p x ℓ = 16x x 10x = 160 x2 40 dm2 : 4.000 cm2 L = 160x2 ≥ 4.000 160 x 2 ≥ 4.000 x2 ≥ x2 ≥ …. x ≥ …. Jadi ukuran minimum permukaan meja tersebut adalah ( ... x ... ) cm EVALUASI 1 A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat. 1. Penyelesaian dari persamaan 6 - 2x = 5x + 20 dengan x variabel pada himpunan bilangan bulat adalah .... a. x = 2 c. x = -1 b. x = 1 d. x = -2 2. Diketahui persamaan-persamaan berikut. (i) x – 3 = 1 (iii) x - 15 = 5 (ii) x - 5 = 5 (iv) 3x - 45 = 15 Dari persamaan diatas yang merupakan persamaan ekuivalen adalah ... . a. (i), (ii), dan (iii) c. (i), (ii), dan (iv) b. (i), (iii), dan (iv) d. (ii), (iii), dan (iv) 3. Panjang sisi-sisi sebuah seghitiga diketahui 2x cm, (2x +2) cm dan (3x +1) cm. Jika kelilingnya 24 cm, panjang sisi yang terpanjang adalah ... . a. 6 cm c. 10 cm b. 8 cm d. 12 cm 4. Harga sebuah buku sama dengan dua kali harga pensil. Jika 6 buku dan 15 pensil harganya Rp. 21.600,00. Harga satu buku adalah ... . a. Rp. 1.600,00 c. Rp.800,00 b. Rp. 1.500,00 d. Rp.750,00 5. Tiga bilangan genap yang berturutan jumlahnya 108. Bilangan yang terbesar adalah ... . a. 36 c. 40 b. 38 d. 44 6. Jika pengurangan 2x dari 3 hasilnya tidak kurang dari 5 maka nilai x adalah ... . a. x ≥ 4 c. x ≤ 4 b. x ≥ -1 d. x ≤ -1 7. Batas nilai x dari pertidaksamaan (x - 2)< - (x - 2) jika x variabel pada himpunan bilangan bulat adalah ... . a. x < 2 c. x < -2 b. x > 2 d. x > -2 8. Grafik himpunan penyelesaian dari 2x + 4 > 3x + 2 dengan x variabel pada {-3, -2, -1, 0,..., 3} a. c. b. d. 9. Penyelesaian dari 2 (3 - 3x) > 3x - 12, jika variabel pada himpunan bilangan bulat adalah .... a. x < -2 c. x < 2 b. x > -2 d. x > 2 10. Panjang sisi-sisi sebuah persegi diketahui (x + 2) cm, jika kelilingnya tidak lebih dari 20 cm, luas maksimum persegi tersebut adalah ... . a. 9 cm2 c. 20 cm2 b. 16 cm2 d. 25 cm2 B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini dengan singkat dan tepat ! 1. Jika variabel pada himpunan bilangan rasional, tentukan penyelesaian dari setiap persamaan berikut. a. b. 2x - = c. = = d. x – 2 = (x-1) e. 2y – 13 = 12 – y f. 5 (13-y) = 9y - (2y - 5) 2. Panjang sisi-sisi suatu persegi panjang diketahui (2x - 6) cm dan (x + 8) cm. Jika kelilingnya 28 cm. Tentukan luas persegi panjang tersebut. 3. Diketahaui harga sepasang sepatu 2 kali harga sepasang sandal. Jumlah harga kedua pasang sepatu dan sandal tersebut Rp. 82.500,00. Susunlah persamaan dalam x dan tentukan harga sepatu dan sandal tersebut. 4. Dengan peubah pada himpunan bilangan bulat, tentukan penyelesaian pertidaksamaan berikut, kemudian gambarlah grafik himpunan penyelesaiannya. a. 4 (x-3) < x + 3 b. -1≤ - 5 + > c. - > d. 2 < 5(x + 3) e. - ≤ 1 f. + 1 > 5. Seorang anak mengendarai sepeda dengan kecepatan (x + 3) km/jam selama 1 jam 15 menit. Kemudian dengan kecapatan (2x- 4) km/jm selama 1 jam 30 menit. Jika jarak yang ditempuh seluruhnya tidak lebih dari 19 km. susunlah pertidaksamaan dalam x dan selesaikanlah. BAB 2 ARITMATIKA SOSIAL Kurikulum 2013 Kompetensi Dasar : • Memiliki rasa ingin tahu, percaya diri, dan ketertarikan pada matematika serta rasa percaya pada daya dan kegunaan matematika, yang terbentuk melalui pengalaman belajar. • Memiliki sikap terbuka, santun, obyektif, menghargai pendapat dan karya temuan dalam interaksi kelompok maupun aktifitas sehari-hari. • Menggunakan konsep aljabar dalam menyelesaikan masalah aritmatika social sederhana. Pengalaman Belajar : Melalui proses pembelajaran materi aritmatika sosial, siswa memiliki pengalaman belajar : • Terlatih berfikir kritis dan berfikir kreatif • Menemukan ilmu pengetahuan dari pemecahan masalah nyata • Dilatih bekerjasama dalam tim untuk menemukan solusi permasalahan • Dilatih mengajukan ide-ide bebas dan terbuka, • Merasakan manfaat matematika dalam kehidupan sehari-hari. A. Aritmetika Sosial dalam Kegiatan Ekonomi 1. Menghitung nilai keseluruhan, nilai per unit, dan nilai sebagian. Seorang pedagang buah membeli 12 buah durian. la membayar dengan 3 lembar uang seratus ribuan dan mendapat uang kembalian sebesar Rp. 30.000,00. a. Tentukan harga pembelian seluruhnya. b. Tentukan harga pembelian tiap buah. c. Jika pedagang tersebut hanya membeli 8 buah durian berapakah ia harus membayar ? Penyelesaian : a. Harga pembelian = 3 x Rp. 100.000,00 - Rp. 30.000,00 = Rp 300.000,00 - Rp. 30.000,00 = … Jadi harga pembelian seluruhnya adalah ….. b. Harga durian perbuah = = … Jadi harga tiap buah durian adalah .... c. Harga 8 buah = 8 x .... = … Jadi, harga 8 buah durian adalah .... 2. Harga Pembelian, Harga Penjualan, Untung dan Rugi. Seorang pedagang membeli jeruk sebanyak 40 kg dengan harga Rp. 6.500,00 per kg. Kemudian 30 kg diantaranya dijual dengan harga Rp. 7.000,00 per kg dan sisanya dijual dengan harga Rp. 6.000,00 per kg. Hitunglah : a. Harga Pembelian. b. Harga Penjualan. c. Besar untung atau rugi dari hasil penjualan tersebut. Penyelesaian : a. Harga pembelian = 40 x Rp. 6.500,00 = …. b. Harga penjualan = ( 30 x Rp. 7.000,00 ) + ( 10 x Rp. 6.000,00 ) = Rp. 210.000,00 + Rp. 60.000,00 = …. c. Untung = Harga Penjualan - Harga Pembelian = … - … = … 3. Persentase Untung dan Rugi a. Menentukan persentase untung dan rugi. Seorang pedagang membeli 1 kuintal beras dengan harga Rp. 6.000,00 per kg. Pedagang itu menjual beras tersebut dan memperoleh uang sebanyak Rp. 620.000,00. Tentukan persentase untung atau rugi pedagang itu. Penyelesaian : Harga pembelian = 100 x Rp. 6.000,00 = Rp. 60.000,00 Harga penjualan = Rp. 620.000,00 Untung = Rp. 620.000,00 - Rp. 60.000,00 = ... Persentase keuntungan pedagang itu adalah x 100% x 100 % = …% b. Menentukan harga penjualan dan harga pembelian jika persentatse untung atau rugi diketahui. Seorang pedagang menjual suatu barang dengan harga Rp. 210.000,00 dan mendapat untung 5% dari harga beli. Tentukan harga beli barang tersebut. Penyelesaian : Harga penjualan = harga pembelian + untung Rp. 210.000,00 = Harga pembelian + 5% harga pembelian. = (100% + 5%) harga pembelian = x harga pembelian Harga pembelian = Rp.210.000,00 : = Rp. 210.000,00 x B. Rabat (Diskon), Beton, Tara dan Neto 1. Rabat (Diskon) Seorang membeli baju di Toko Anugerah seharga Rp. 85.000,00. Toko tersebut memberikan diskon 20% untuk setiap pembelian. Berapakah uang yang harus ia bayar ? Penyelesaian : Harga pembelian = Rp. 85.000,00 Diskon 20% = x ... = …. Uang yang harus dibayar = .... = …. 2. Bruto, Tara dan Neto Ibu membeli 5 kaleng susu. Disetiap kaleng itu tertulis neto 1 kg, setelah ditimbang ternyata berat seluruh kaleng susu tersebut 6 kg. Berapakah bruto dan tara setiap kaleng ? Penyelesaian : Bruto setiap kaleng = 6 kg : 5 = ... kg Tara setiap kaleng = ... kg - 1 kg = ... kg C. Bunga Tabungan dan Pajak 1. Bunga Tabungan Vega menyimpan uang di bank sebesar Rp. 2.000.000,00 dengan suku bunga 18% setahun dengan bunga tunggal. Tentukan a. Besarnya bunga pada akhir bulan pertama. b. Besarnya bunga pada akhir bulan ke enam. c. Besarnya uang setelah 2 tahun. Penyelesaian a. Bunga akhir bulan pertama = x x Rp. 2.000.000,00 = …. b. Bunga akhir bulan ke enam = x x Rp. 2.000.000,00 = …. c. Bunga 2 tahun = 2 x x Rp. 2.000.000,00 Jumlah uang setelah 2 tahun = ... + ... = … 2. Pajak Pak Putu memperoleh gaji Rp. 950.000,00 sebulan dengan penghasilan tidak kena pajak Rp. 380.000,00. Jika pajak penghasilan (PPh) diketahtui 10% berapakah besar gaji yang diterima Pak Putu per bulan ? Penyelesaian : Besar gaji = Rp. 950.000,00 Penghasilan tidak kena pajak = Rp. 380.000,00 PPh = 10% Besar penghasilan kena pajak = Rp. 950.000,00 - Rp. 380.000,00 = …. Besar penghasilan = 10% x penghasilan kena pajak = x …. = … Gaji yang diterima Pak Putu tiap bulan = Rp. 950.000,00 - ... = …. EVALUASI 2 I. Untuk soal Nomor l sampai dengan Nomor 20, pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1. Dalam perdagangan, pernyataan-pernyataan berikut yang tidak benar adalah .... a. Untung = harga penjualan - harga pem¬belian b. Harga pembelian = harga penjualan + rugi c. Modal = harga penjualan + untung d. Harga penjualan = harga pembelian - rugi 2. Koperasi sekolah membeli 15 lusin buku tulis dengan harga Rp. 36.000 per lusin. Jika koperasi menghendaki untung Rp 90.000, maka harga penjualan tiap buku tersebut adalah . . . . a. Rp 4.200 c. Rp3.600 b. Rp4.100 d. Rp3.500 3. Seorang pedagang membeli mangga seharga Rp380.000 dengan ongkos angkutan Rp30.000. Setelah terjual habis, pedagang itu memperoleh uang Rp450.000. Dalam keadaan ini, pedagang memperoleh . . . . a. rugi Rp40.000 c. untung Rp40.000 b. rugi Rp70.000 d. untung Rp70.000 4. Koperasi ternak “Bersama” membeli 20 ekor sapi dengan harga Rp8.000.000 per ekor. Kemudian sapi-sapi tersebut dijual dengan harga Rp8.300.000 per ekor, tetapi 1 ekor mati. Besar kerugian koperasi itu adalah .... a. Rp2.300.000 c. Rp6.000.000 b. Rp5.700.000 d. Rp8.000.000 5. Paman membeli sepeda motor bekas dengan harga Rp4.500.000. Sepeda motor itu diper¬baiki dengan biaya Rp500.000, kemudian dijual Rp 5.300.000. Besar persentase keun¬tungan Paman adalah . . . . a. 6% c. 16% b. 6,7% d. 17,8% 6. Seorang pedagang membeli 2 kuintal beras den-an harga Rp1.280.000. Jika ia ingin memperoleh untung 10%. maka harga pen¬jualan beras tiap kg adalah . . . . a. Rp7.400 c. Rp7.040 b. Rp7.240 d. Rp5.760 7. Pak Darmin membeli ? karton jeruk impor dengan harga Rp160.000, ongkos angkut Rp10.000, dan setiap satu karton jeruk berisi 10 kg. Jeruk tersebut dijual dengan harga rata¬rata Rp9.600 per kg tetapi 1 kg busuk. Dalam keadaan ini. Pak Darmin memperoleh .... a. rugi 7,3% c. rugi 14% b. untung 7,3% d. untung 14% 8. Sebuah dealer mendapat untung 15% dari penjualan sebuah sepeda motor. Jika harga sepeda motor itu Rp18.000.000, maka keun¬tungan dealer adalah …. a. Rp2.700.000 c. Rp270.000 b. Rp1.800.000 d. Rp180.000 9. Toko busana “Rapih” menjual sebuah baju dengan harga Rp75.000. Dan penjualan itu ternyata memperoleh untung 25%. Harga pembelian baju tersebut adalah .... a. Rp95.000 c. Rp60.000 b. Rp93.750 d. Rp50.000 10. Seorang pedagang kelinci memperoleh hasil penjualan Rp432.000. Dari penjualan itu ternyata ia rugi 10%. Besar modal pedagang kelinci tersebut adalah .... a. Rp388.800 c. Rp475.000 b. Rp442.000 d. Rp480.000 11. Sebuah toko memberikan diskon 10% untuk pembelian sampai Rp 100.000, dan 15% untuk kelebihannya. Jika seorang pembeli berbelanja sebesar Rp300.000, maka yang harus dibayar adalah .... a. Rp225.000 c. Rp260.000 b. Rp255.000 d. Rp270.000 12. Berat sebuah barang dengan kemasannya adalah 40 kg, dan tara dari barang itu 5%. Harga pembelian barang itu Rp288.000. Jika barang itu dijual dengan keuntungan 20%, maka harga penjualan tiap kg adalah .... a. Rp9.400 c. Rp8.640 b. Rp9.095 d. Rp7.200 13. Pak Jufri membeli 1 peti jeruk dengan berat keselumhan 20 kg dan tara 2 kg dengan harga Rp140.000. Pak Jufri mendapat diskon 10°l0. Jika ia menginginkan untung 20%, maka harga penjualan tiap kg jeruk adalah . . . a. Rp8.400 c. Rp7.000 b. Rp7.560 d. Rp6.300 14. Seorang pedagang membeli 2 peti kelengkeng dengan harga Rp320.000. Berat keseluruhan setiap peti 20 kg dengan tara 10%. Kemudian kelengkeng itu dijual Rp9.500 setiap kg. Besar keuntungan pedagang itu adalah . . . . a. Rp60.000 c. Rp35.000 b. Rp41.000 d. Rp22.000 15. Dimas menabung di bank sebesar Rp600.000. Jika bank tersebut memberi bunga 12% per ta¬hun, maka besar bunga yang diperoleh Dimas selama 8 bulan menabung adalah . . . . a. Rp40.000 c. Rp54.000 b. Rp48.000 d. Rp72.000 16. Astri menabung di bank “Andalan” sebesar Rp1.200.000 dengan mendapat bunga 11% setahun. Setelah jangka waktu tertentu, ia memperoleh bunga sebesar Rp77.000. Lama Astri menabung di bank tersebut adalah .... a. 4 bulan c. 7 bulan b. 5 bulan d. 8 bulan 17. Untuk mengembangkan usahanya, Diky men¬dapat pinjaman lunak sebesar Rp1.200.000 dengan bunga 5% per tahun. Jika pinjaman itu dikembalikan selama 10 bulan, besar angsuran tiap bulan adalah . . . . a. Rp125.000 c. Rp150.000 b. Rp126.000 d. Rp160.000 18. Desti mendapat penghasilan Rp2.400.000 dengan penghasilan tidak kena pajak Rp.600.000. Jika pajak penghasilan (PPh) 15%, maka besar penghasilan yang diterima Desti adalah …. a. Rp2.040.000 c. Rp2.250.000 b. Rp2.130.000 d. Rp2.310.000 19. Yudi mendepositokan uangnya di bank sebesar Rp30.000.000 dengan bunga 10% per tahun, dan dikenukan pajak bung a 5%. Besar bunga 1 tahun yang diterima Yudi adalah . . . . a. Rp1.500.000 c. Rp2.850.000 b. Rp2.700.000 d. Rp3.000.000 20. Seorang pengusaha membeli sebuah mobil dengan harga Rp400.000.000 dan dikenakan pajak penjualan (PPn) 20% karena termasuk barang mewah, tetapi mendapat diskon 5%. Jumlah uang yang harus dibayarkan untuk mobil itu adalah . . . . a. Rp320.000.000 c. Rp460.000.000 b. Rp380.000.000 d. Rp480.000.000 II. Untuk soal-soal berikut, jawablah dengan selengkapnya! 1. Seorang pedagang membeli 4 karung kacang kedele dengan berat masing-masing 50 kg dan harga Rp7.600 per kg. Jika besar tara 1% dan mendapat diskon 10%, berapa rupiah pedagang itu harus membayar? 2. Pedagang mobil bekas membeli 2 buah mobil dengan harga Rp80.000.000 per mobil. Kemu¬dian mobil itu ia jual aehingga ia memperoleh untung 15% untuk mobil pertama, dan menga¬lami rugi 4% untuk mobil kedua. Hitunglah besar persentase keuntungan seluruhnya! 3. Harga pembelian dua jenis gula masing¬masing Rp6.000 dan Rp6.400 per kg. Kedua jenis gula itu kernudian dicampur dengan perbandingan 2 : 3, dan dijual dengan mem¬peroleh untung 20%. Tentukan: a. harga pembelian 1 kg gula campuran, b. harga penjualan 1 kg gula campuran. 4. Winda membuka tabungan di sebuah bank yang memberi bunga sebesar 12% per ta¬hun. Tanggal 1 April, ia menabung sebesar Rp400.000. Hitunglah besar tabungan Winda beserta bunganya sampai tanggal I September pada tahun yang sama! 5. Ayah membeli sebuah televisi dengan harga Rp3.800.000 dan dikenakan pajak per¬tambahan nilai (PPN) sebesar 10%. Karena pembelian kontan, maka ia mendapat diskon sebesar 5%. Tentukan jumlah uang yang harus dibayar Ayah! BAB 3 STATISTIKA Kurikulum 2013 Kompetensi Dasar : • Memiliki rasa ingin tahu, percaya diri, dan ketertarikan pada matematika serta rasa percaya pada daya dan kegunaan matematika, yang terbentuk melalui pengalaman belajar. • Memahami teknik penyajian data dua variabel menggunakan tabel, grafik batang, diagram lingkaran, dan grafik garis • Mengumpulkan, mengolah, menginterpretasi dan menyajikann data hasil pengamatan dalam bentuk tabel, diagram dan grafik Pengalaman Belajar : Melalui proses pembelajaran materi statistika, siswa memiliki pengalaman belajar: • Terlatih berfikir kritis dan berfikir kreatif • Menemukan ilmu pengetahuan dari pemecahan masalah nyata • Dilatih bekerjasama dalam tim untuk menemukan solusi permasalahan • Dilatih mengajukan ide-ide bebas dan terbuka, • Merasakan manfaat matematika dalam kehidupan sehari-hari. A. Pengumpulan dan Penyajian Data 1. Pengertian Datum dan Data Seorang guru ingin mengetahui berat badan dan tingkat kesehatan lima siswanya. Hasil pengukuran berat badan kelima siswa tersebut berturut-turut 42 kg, 45 kg, 50 kg, dan 44 kg. Adapun hasil pemeriksaan kesehatan terhadap kelima siswa tersebut berturut-turut baik, buruk, baik, baik, dan buruk. Hasil pengukuran berat badan kelima tersebut yaitu 42 kg, 45 kg, 50 kg, dan 44 kg disebut fakta dalam bentuk angka, sedangkan hasil pemeriksaan kesehatan, yaitu baik dan buruk disebut fakta dalam bentuk kategori. Fakta dalam bentuk kategori yang lain, misalnya kurang, sedang, rusak, dan puas. Selanjutnya fakta tunggal disebut datum. Sedangkan kumpulan datum disebut data. Contoh : Hasil ulangan matematika 10 siswa kelas IX A SMP adalah sebagai berikut : Data tersebut terdiri atas 10 datum. Datum terbesar 10, sedangkan datum terkecil adalah 5 2. Pengertian statistik, populasi dab sampel Statistika adalah cabang matematika yang mempelajari metode pengumpulan, pengolahan, penafsiran, dan penarikan kesimpulan dari data. Salah satu kegunaan statistika adalah mengolah data yang ada menjadi informasi yang berguna. Populasi, sampel, data tabel, diagram, rata-rata median, dan modus merupakan istilah-istilah dan statistika Populasi adalah kelompok objek yang memiliki karakteristik yang sama. Sampel adalah perwakilan atau contoh dari populasi. Contoh : Tentukan populasi dan sampel dari uraian berikut seorang peneliti ingin mengetahui tingkat kecerdasan siswa-siswa SMP di suatu provinsi untuk itu. Ia mengambil beberapa siswa SMP di propinsi itu untuk di tes. Penyelesaian : Seluruh siswa yang ada di peropinsi itu merupakan populasi sedangkan sebagian siswa SMP yang megikuti tes merupakan sampel dari seluruh siswa yang ada diprovinsi itu. 3. Jenis Data dan Pengumpulan Data Menurut sifatnya, data dibagi menjadi dua golongan yaitu : a. Data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka atau bilangan. Data kuantitatif terbagi atas dua bagian, yaitu dara cacahan dan data ukuran. 1) Data cacahan (data diskrit) adalah data yang diperoleh dengan cara menghitung misalnya, data jumlah anak dalam keluarga 2) Data ukuran (data kontinu) adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur misalnya data tinggi badan siswa. b. Data Kualitatif adalah data yang tidak berbentuk angka atau bilangan. Misalnya, data warga dan mutu barang. Cara untuk mengumpulkan data, antara lain wawancara, pengisihan lembar pertanyaan (questionaire), pengamatan (observation), dan mengolah atau menggunakan data yang sudah ada. Seringkali data yang di kumpukan berupa bilangan desimal. Sesuai ketelitian yang dikehendaki, bilangan tersebut dapat dibulatkan. Aturan pembulatannya sebagai berikut : a. Jika angka yang mengalami pembulatan lebih dari atau sama dengan 5 angka yang didepannya di tambah satu b. Jika angka yang mengalami pembulatan kurang dari 5, angka tersebut dihilangkan. Misalnya diketahui hasil pengukuran kadar garam air laut sebesar 0,36107. Angka tersebut jika dibulatkan sampai dengan empat angka dibelakang koma menjadi 0,3611. sedangkan jika dibulatkan sampai dengan lima angka di belakang koma menjadi 0,36. 4. Pemeriksaan Data Misalkan, seorang guru mencatat hasil ulangan matematika seluruh siswanya. Sebelum mencari nilai rata-ratanya, ia perlu memeriksa untuk memastikan data yang diperoleh tidak salah catat. Ya juga perlu memeriksa apakah ada nilai-nilai yang harus dibulatkan atau tidak. Kesalahan pencatatan dan pembulatan data ini akan menyebabkan nilai rata-rata ulangan matematika di kelas tersebut tidak sesuai dengan data yang sebenarnya. 5. Penyajian Data Statistik Ada dua cara penyajian data yag sering dilakukan yaitu : a. Daftar atau tabel b. Grafik atau diagram a. Penyajian data dalam bentuk tabel Misalkan, hasil ulangan matematika 30 siswa kelas IX A SMP X disajikan dalam tabel berikut. Tabel 3.1 Nilai ulangan matematika siswa kelas IXA SMP X (Tidak Alfabetis). Jika data pada tabel 3.1 disajikan sesuai nama siswa yang disusun secara alfabet maka akan tampak seperti tabel 3.2 Tabel 3.2 Nilai Ulangan Matematika siswa kelas IX A SMP X (Alfabetis) Dengan melihat tabel 3.2 kalian dapat menentukan dengan mudah nilai ulangan matematika yang diperoleh Oktian, yaitu 8. Jika ingin megetahui beberapa orang yang memperoleh nilai 8, kalian harus mengajukan data tersebut dengan mencatat banyak nilai tertentu (frekuensi) yang muncul seperti di perlihatkan pada tabel 3.3 Tabel 3.3 Tabel Frekuensi Tabel 3.4 Tabel Distribusi Frekuensi Dengan demikian bahan dapat menentukan banyak siswa yang mendapat nilai 8 dengan sekali pandang, yaitu 6 orang. Ketiga cara penyajian data pada tabel 3.1 tabel 3.2 dan tabel 3.3 dinamakan penyajian data sederhana. Jika data hasil ulangan matematika itu disajikan dengan cara megelompokkan data nilai siswa diperoleh tabel frekuensi data berkelompok seperti tabel 3.4. Tabel seperti ini dinamakan tabel distribusi frekuensi. b. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram 1) Diagram Batang Diagram batang, merupakan salah satu diagram yang dapat digunakan untuk menyajikan data untuk menggambarkan diagram batang diperlukan sumbu mendatar dan sumbu tegak yang berpotongan tegak lurus, seperti tampak pada gambar 3.1 a. Sumbu mendatar digunakan untuk menunjukkan jenis kategori, misalnya SD, SMP, SMA, dan SMK b. Sumbu tegak digunakan untuk menunjukkan frekuensi, misalnya banyak siswa. Tabel 3.5 Tabel Banyak Siswa Sumber mendatar dibagi menjadi beberapa bagian untuk menunjukkan kategori tingkat sekolah. Demikian pula sumbu tegaknya dibagi menjadi beberapa bagian untuk menunjukkan banyak siswa pada setiap kategori tingkat sekolah. Skala pada sumbu mendatar dan sumbu tegak tidak perlu sama. Misalnya diagram batang pada gambar 3.1 menunjukkan data banyak siswa tingkat SD, SMP, SMA dan SMK disuatu daerah. Dari diagram batang tersebut dapat diperoleh seperti diagram tabel 3.5 2) Diagram Garis Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data yang pengamatannya di lakukan dan waktu ke waktu secara teratur. Misalnya, penimbangan berat badan seseorang yang dilakukan setiap tahun. Contoh diantaranya adalah seperti pada tabel berikut. Tabel 3.6 Penimbangan Berat Badan Seseorang Diagram garis untuk data pada tabel 3.6 adalah tertera pada gambar 3.2 Perhatikan gambar 3.2 pada sumbu tahun, untuk angka 2008 menunjukkan skala 70 pada sumbu berat badan. Artinya, pada tahun 2008 berat badan seseorang tersebut adalah 70 kg. 3) Piktogram dan Diagram Lingkaran Piktogram adalah suatu badan yang menampilkan data dengan menggunakan gambar-gambar. Jika disuatu daerah tercatat data banyak siswa SD, maka banyak siswa SD tersebut depat ditampilkan dalam bentuk gambar orang. Misalnya satu gambar orang melambangkan 1.000 siswa SD, jika di daerah itu terdapat 500 siswa SD, data tersebut ditampilkan sebagau setengah gambar orang. Contoh : Banyak siswa di kecamatan Wirosari menurut tingkat sekolah pada tahun 2011 adalah sebagai berikut SD sebanyak 10.000 siswa, SMP sebanyak 7.500 siswa, SMA sebanyak 5.000 siswa dan SMK sebanyak 2.500 siswa. Gambarlah piktogram dari data tersebut. Penyelsaian SMK SD SMP SMA Gambar 3.3 Salah satu kekurangan menyajikan data dengan piktogram adalah sulitnya membedakan setengah gambar dengan dua pertiga gambar. Oleh karena itu, penggunaan piktogram sangat terbatas. Dalam hal seperti ini, penggunaan diagram lingkaran akan lebih jelas dari pada piktogram, terutama dalam membandingkan suatu data terhadap keseluruhan. Contoh diagram lingkaran diperlihatkan pada gambar 3.4. Langkah-langkah membuat diagram lingkaran adalah sebagai berikut : a. Buatlah sebuah lingkaran pada kertas b. Bagilah lingkaran tersebut menjadi beberapa juring lingkaran untuk menggambarkan kategori yang datanya telah diubah ke dalam derajat. Contoh : Gambarlah diagram lingkaran dari data yang terdapat pada contoh gambar 3.3 Penyelesaian : Perbandingan banyak siswa SD, SMP, SMA dan SMK adalah 10.000 : 7.500 : 5.000 : 2.500 = 4 : 3 : 2 : 1 Jumlah perbandingan 4 + 3 + 2 + 1 = 10 Ukuran sudut pusat juring dari setiap kategori adalah sebagai berikut : SD = x 3600 = 1440 SMP = x 3600 = 1080 SMA = x 3600 = 720 SMA = x 3600 = 360 Jika kalian ingin mengetahui persentase dari setiap kategori caranya sebagai berikut : SD = x 100% = 40% SMP = x 100% = 30% SMA = x 100% = 20% SMA = x 100% = 10% Dengan menggunakan ukuran sudut pusat yang diperoleh, diagram lingkaran yang dihasilkan tampak pada gambar 3.4 Uji Kompetensi ! 1. Seseorang ingin mengetahui kadar garam dalam sebuah kolam ikan. Tentukan populasi dan sampel yang mungkin ! 2. Banyaknya siswa disuatu SMP dari tahun 2000 sampai dengan 2009 adalah sebagai berikut Tahun 2002 sebanyak 650 orang Tahun 2003 sebanyak 640 orang Tahun 2004 sebanyak 660 orang Tahun 2005 sebanyak 670 orang Tahun 2006 sebanyak 685 orang Tahun 2007 sebanyak 680 orang Tahun 2008 sebanyak 700 orang Tahun 2009 sebanyak 715 orang Tahun 2010 sebanyak 730 orang Tahun 2011 sebanyak 730 orang a. Buatlah tabel frekuensi dari data tersebut ! b. Buatlah diagram garisnya ! 3. Hasil penjualan buku pelajaran di sebuah toko buku menurut tingkat sekolah pada tahun 2011 adalah sebagai berikut : Buku SD = 70.000 eksemplar Buku SMP = 76.500 eksemplar Buku SMA = 72.500 eksemplar Buku Perguruan Tinggi = 56.000 eksemplar a. Buatlah tabel frekuensi dari data tersebut ! b. Buatlah diagram batanganya ! 4. Misalnya suatu data mengenai banyak siswa di daerah A menurut tingkat sekolah berdasarkan hasil penelitian tahun 2009 adalah sebagai berikut : a. Buatlah diagram lingkaran dari data tersebut b. Jika jumlah siswa SD sebanyak 600 orang hitunglah jumlah siswa! (i) SMP (ii) SMA (iii) SMK 5. Suatu data mengenai jumlah penduduk di suatu daerah menurut mata pencahariannya, yaitu petani 45%, guru 20%, pedagang 25% dan wiraswasta 10%. a. Buatlah diagram lingkaran b. Jika jumlah penduduk di daerah tersebut sebanyak 200 orang, hitunglah banyaknya penduduk berdasarkan mata pencahariannya masing-masing. B. Ukuran Pemusatan Data 1. Mean (Rataan) Mean merupakan salah satu ukuran pemusatan dari data yang akan ditarik kesimpulannya. Jika diketahui data tunggal sebagai berikut x1, x2, .........., xn dengan x1 = data ke-1, x2 = data ke-2, ...... xn = data ke-n maka rata-rata (mean) data tersebut dapat dicari dengan rumus sebagai berikut. Jika data dalam tabel sebaran frekuensi data tunggal maka Contoh Misalnya data nilai harian matematika seorang siswa pada suatu periode seperti tabel berikut : Nilai rata-rata matematika pada ulangan tersebut dapat dihitung dengan cara sebagai berikut : = 6,4 Jadi, nilai rata-rata ulangan harian matematika siswa tersebut adalah 6,4 2. Median (Nilai Tengah) Untuk menentukan median, data harus diurutkan dari data terkecil dahulu setelah data diurutkan dari data terkecil maka data yang terletak ditengah disebut median. Berikut ini adalah tahapan-tahapan untuk menentukan median : 1. Data diurutkan dari data terkecil 2. Jika banyaknya data ganjil maka Median : data ke Dengan n menyatakan banyaknya data 3. Jika banyaknya data genap maka Median = Dengan n menyatakan banyaknya data Contoh : 1. Data berat badan 11 pemain sepak bola (dalam kg) adalah sebagai berikut: 77 75 69 65 80 70 85 82 73 79 74 Setelah data diurutkan dari data terkecil, hasilnya adalah sebagai berikut : 65 69 70 73 74 75 77 79 80 82 85 Ternyata, data yang terletak di tengah terdapat pada data ke-6 yaitu 75 Jadi, mediannya adalah 75 2. Data tinggi badan 6 pemain voli (dalam cm) adalah sebagai berikut : 160 155 165 168 157 163 Setelah data diurutkan dari data terkecil, hasilnya sebagai berikut : 155 157 160 163 165 168 Ternyata data yang terletak ditengah terdapat diantara data ke-3 (160) dan data ke-4 (163) oleh karena data yang ada ditengah ada dua maka mediannya adalah jumlah data yang ditengah dibagi dua, jadi mediannya adalah 3. Untuk data yang tersusun dalam tabel seberan frekuensi, data tunggal berikut tentukan mediannya ! Pada tabel tersebut banyak siswa (jumlah seluruh frekuensi) adalah 40 setelah data diurutkan dari data terkecil, diperoleh bahwa data yang ditengah adalah data terletak diantara data ke-20 dan data ke-21jadi mediannya adalah 3. Modus Modus adalah data yang paling sering muncul atau data yang frekuensinya terbesar Modus suatu data dapat lebih dari satu Modus dapat berupa bilangan atau bukan bilangan Contoh : 1. Data tinggi badan 10 pemain basket (dalam cm) yang akan bertanding adalah sebagai berikut : 170 175 172 173 175 176 175 177 180 178 Dari data tersebut, ukuran tinggi badan yang paling banyak dimiliki oleh pemain basket adalah 175 cm, yaitu terdapat 3 pemain yang mempunyai tinggi badan 175 cm. Dengan demikian dikatakan bahwa modus tinggi badan pemain adalah 175 cm. 2. Perhatikan data nilai matematika siswa pada tabel berikut ! Dari data tersebut, nilai yang paling sering diperoleh siswa adalah 6. Pada tabel terdapat siswa yang memperoleh nilai 6 dalam hal ini dikatakan bahwa modus dari data tersebut adalah 6. Uji Kompetensi 3 1. Diketahui data kecepatan lari dari 9 atles (dalam m/dt) adalah sebagai berikut : 5 2 3 6 4 4 3 3 5 a. Tentukan rata-rata kecepatan lari 9 atles tersebut ! b. Tentukan mediannya ! c. Tentukan Modusnya ! 2. Data kandungan energi dari 20 makanan kemasan (dalam kilo kalori) adalah sebagai berikut : 145 145 150 140 155 140 160 165 150 155 155 150 145 140 145 155 160 165 160 155 a. Hitunglah rata-rata kandungan energinya ! b. Tentukan mediannya ! c. Tentukan modusnya ! 3. Data keuntungan koperasi sekolah yang dihitung perhari dalam sebulan tersaji dalam tabel berikut : a. Tentukan rata-rata keuntungan koperasi tersebut perhari ! b. Tentukan mediannya ! c. Tentukan modusnya ! 4. Data nilai ulangan matematika siswa disajikan dalam tabel berikut : a. Hitunglah rata-rata nilai ulangan matematika siswa tersebut ! b. Tentukan mediannya ! c. Tentukan modusnya ! 5. Data ukuran sepatu siswa kelas IX adalah sebagai berikut : 37 38 39 36 37 40 41 37 42 30 38 39 38 37 36 42 38 41 38 40 36 38 39 40 41 43 42 39 40 39 37 40 41 42 38 38 36 41 38 43 a. Berapakah ukuran sepatu yang menjadi modusnya ? b. Berapakah ukuran sepatu terbesar ? c. Berapakah ukuran sepatu terkecil ? C. Ukuran Penyebaran Data 1. Jangkauan Jangkauan suatu data adalah selisih antara datum terbesar dan datum terkecil yang dirumuskan sebagai berikut : Jangkauan : datum terbesar – datum terkecil Contoh : 1. Nilai rapor seorang siswa kelas IX adalah 5, 8, 7, 6, 7, 5, 6, 6, 7. Tentukan jangkauannya Penyelesaian : Datum terbesar : 8 dan datum terkecil : 5 Jangkauan = datum terbesar – datum terkecil = 8 – 5 = 3 2. Suatu data memiliki macam 16 dan Jangkauan 6. Jika setiap nilai di dalam data tersebut dikalikan q kemudian di kurangi p maka diperoleh data baru dengan mean 20 dan Jangkauan q. Tentukan nilai dari 2p + q. Penyelesaian : Data mula-mula adalah x1, x2, x3, ....,xn dengan mean dan j = 6, sehingga j = xn – x1 = 6 ............... (1) Data baru adalah qx1 – p, qx2 – p, qx3 – p, ....., qxn – p dengan j = q Sehingga (qxn – p) – (qx1 – p) = 9 Q(xn – x1) = 9 ................... (2) Substitusikan persamaan (1) dan (2) diperoleh q x 6 = 9 ↔ Diketahui maka ↔ ↔ ↔ p = 4 Jadi, 2p + q = 2(4) + 2. Kuartil Jangkauan yang terkuartil dan simpangan kuartil Kuartil adalah ukuran yang membagi data menjadi empat kelompok yang sama banyak. Ada tiga jenis kuartil, yaitu kuartil pertama (kuartil bawah), kuartil kedua (kuartil tengah atau median), dan kuartil ketiga (kuartil atas). Kuartil – kuartil itu berturut-turut di beri notasi Q1, Q2, dan Q3. Untuk lebih jelasnya amati gambar pembagian data terurut menjadi empat kelompok yang sama banyak seperti berikut : + + + data data data data Q1 Q2 Q3 (kuartil bawah) (kuartil tengah) (kuartil atas) Gambar 3.5 Keterangan : Banyak datum kalompol I : banyak datum kelompok 2 : banyak datum kelompok 3: banyak datum kelompok 4. Untuk menentukan nilai-nilai kuartil dari suatu data, langkah pertama yang harus kalian lakukan adalah mengurutkan data tersebut misalnya, diketahui data 4, 2, 3, 5, 7, 3 setelah diurutkan, tentukan median dari data tersebut. Nilai median yang diperoleh tidak lain adalah Q2 kemudian tentukan kuartil bawah (Q1) dengan membagi data dibawah Q2 menjadi dua bagian sama banyak. Selanjutnya, tentukan kuartil atas (Q3) dengan cara membagi data diatas Q2 menjadi dua bagian sama banyak. Hasilnya tampak seperti pada bagian berikut : 2 3 3 4 5 7 Q1 Q2 Q3 Dengan demikian diperoleh Q1 = 3, Q2 = dan Q3 = 5 Jangkauan interkuartil adalah selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah jika Jangkauan interkuartil di notasikan dengan Qn maka : Qn = Q3 – Q1 Simpangan kuartil (Jangkauan interkuartil di notasikan dengan Qd maka : Qd = Qn atau Qd = (Q3 – Q1) Contoh : Nilai rapor Ratna, siswa kelas IX adalah sebagai berikut : 7, 6, 8, 5, 7, 9, 7, 7, 6. Tentukan a. Kuartil bawah, median, dan kuartil atas b. Jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil Penyelesaian : 5 6 6 7 7 7 7 8 9 Q1 = Q2=7 Q3 = a. Jadi, kuartil bawah = 6, median : 7 dan kuartil atas : 7,5 b. Qd = Q3 – Q1 = 7,5 – 6 = 1,5 Qd = = Jadi, jangkauan interkuartil = 1,5 dan simpangan kuartil = 0,75 Untuk menentukan kuartil data yang keberapa datumnya sama (memiliki frekuensi tertentu), dapat digunakan rumus berikut. Misalnya banyak seluruh datum n1 + n2 + ............ + n1 = N Dengan i = 1, 2, 3, ..........., sehingga Q1 merupakan datum ke atau 25% + N Q2 merupakan datum ke atau 50% + N Q3 merupakan datum ke atau 25% + N Contoh : Data pada tabel 3.6 adalah nilai ulangan matematika dari 40 siswa kelas IX A. a. Tentukan kuartil bawah, kuartil tengah dan kuartil atas b. Tentukan jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil Tabel 3.6 Penyelesaian : Diketahui : N = n1 + n2 + ..........+ ni = 1+4+2+5+8+9+5+4+1+1 = 40 a. Q1 merupakan datum ke Jadi, Q1 merupakan datum ke 10, yaitu 4 Q2 merupakan datum ke Jadi, Q2 merupakan datum ke 20, yaitu 5 Q3 merupakan datum ke Jadi, Q3 merupakan datum ke 30, yaitu 7 b. QR = Q3 – Q1 = 7 – 4 = 3 Qd = QR = .3 = 1,5 Uji Kompetensi 3 Untuk soal nomor 1 dan 2, tentukan kuartil bawah, median, kuartil atas, jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil. 1. 49 46 30 43 42 47 40 45 44 56 2. 14 13 15 13 11 11 14 12 12 15 12 12 3. Tekanan darah seorang pasien (dinyatakan dalam mmHg) rumah sakit dicatat sehingga diperoleh data sebagai berikut : 180 160 178 150 176 130 180 125 178 126 180 124 174 120 165 120 166 120 Tentukan : a. Jangkauan b. Kuartil bawah, median, dan kuartil atas c. Jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil 4. Lama pembicaraan melalui telepon yang dilakukan oleh seorang pedagang elektronik (dinyatakan dalam menit) tercatat sebagai berikut: 8 12 4 35 10 12 6 8 15 9 12 24 17 25 16 7 11 15 10 12 14 14 5 6 18 6 22 25 23 18 Tentukan : a. Jangkauan b. Kuartil bawah, median, dan kuartil atas c. Jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil D. Distribusi Frekuensi Untuk membuat tabel distribusi frekuensi yang baik, gunakan aturan-aturan sebagai berikut : a. Tentukan datum terkecil dan datum terbesar kemudian hitung jangkauannya (range) dengan rumus sebagai berikut Jangkauan = datum terbesar – datum terkecil b. Tentukan banyaknya interval kelas, misalnya p dengan perkiraan yang memenuhi ketentuan berikut : 6 ≤ p ≤ 15 c. Tentukan panjang interval kelas dengan rumus panjang kelas sebagai berikut : d. Tentukan batas bawah dan batas atas setiap interval kelas e. Tentukan frekuensi pada masing-masing interval kelas dengan menggunakan sistem turus (tally) Batas bawah interval kelas -1 biasanya diambil dari datum terkecil. Adapun datum terbesar harus termuat dalam interval kelas terakhir. Contoh : Misalnya data tertinggi badan 40 siswa SMP Negeri yang diukur sampai sentimeter terdekat adalah sebagai berikut : 160, 164, 168, 165, 169, 170, 160, 176, 150, 175, 149, 159, 160, 166, 150, 167, 168, 155, 159, 175, 147, 174, 154, 167, 150, 164, 176, 166, 148, 161, 170, 158, 151, 163, 158, 163, 170, 154, 156, 153 Buatlah tabel distribusi frekuensi dari data tersebut Data terbesar 176, sedangkan data terkecil 147 sehingga jangkuan = 176-174 = 2 Pilihlah banyaknya interval kelas, misalnya 6 panjang interval kelas (p) adalah: Batas bawah interval ke-1 adalah 147 dan batas atasnya 151 Batas bawah interval ke-2 adalah 152 dan batas atasnya 156, dan seterusnya. Dengan menggunakan sistem turus, diperoleh : - Frekuensi interval ke-1 adalah 8 - Frekuensi interval ke-2 adalah 4 dan seterusnya Dengan demikiandiperoleh tabel distribusi frekuensi seperti terlihat pada tabel 3.7 Tabel 3.7 Uji Kompetensi 4 1. Setiap hari, banyaknya pasien disebuah rumah sakit di catat kemudian di peroleh data sebagai berikut : 98 104 99 106 90 97 102 104 82 75 86 91 89 101 108 105 103 95 92 88 96 76 78 80 84 88 79 79 100 99 98 94 85 87 93 100 96 80 94 81 a. Tentukan jangkauannya b. Jika banyaknya interval kelas 7 tentukan panjang setiap kelasnya c. Buatlah tabel distribusi frekuensi dari data diatas 2. Pada suatu hari, temperatur minimum beberapa daerah di Indonesia dicatat dalam derajat celcius hingga diperoleh data berikut : 12 21 23 14 17 5 18 20 28 19 16 19 11 35 6 10 15 22 24 26 7 27 20 21 8 11 13 28 18 22 26 24 9 10 8 6 17 29 21 27 20 21 10 22 15 16 24 17 a. Tentukan jangkuannya b. Buatlah tabel distribusi frekuensi dari data tersebut Rangkuman : 1. Populasi adalah sama objek yang menjadi sasaran pengamatan 2. Sampel adalah bagian dari populasi yang diambil untuk dijadikan sasaran pengamatan 3. Metode penyajian data, diantaranya diagram batang, diagram garis, piktogram dan diagram lingkaran. 4. Mean adalah rata-rata dari sekumpulan data 5. Median adalah nilai tengah dari sekumpulan data yang telah diurutkan 6. Modus adalah data yang paling banyak muncul pada sekumpulan data 7. Jangkauan intekuartil adalah selsih antara kuartil atas dan kuartil bawah. Evaluasi 3 1. Tentukan populasi dan sampelnya dari beberapa penelitian berikut ini ! Seorang petani mempunyai 1 hektar ladang yang ditanami kacang tanah. Pada musim panen, petani tersebut ingin menjual kacang di ladangnya. Untuk mengetahui kualitas hasil panen, seorang calon pembeli mengambil beberapa rumpun kacang tanah dari beberapa lokasi yang berbeda diladang petani tersebut. 2. Berikut adalah data mengenai lama perjalanan (dalam menit) yang diperlukan oleh 40 siswa dari rumah ke sekolah/ 20 20 25 30 15 10 10 5 5 10 25 30 20 15 10 10 15 20 25 30 15 10 15 20 25 25 20 30 15 5 5 20 20 25 15 25 15 10 15 10 a. Buatlah tabel sebaran frekuensi data tunggalnya ! b. Berapakah waktu perjalanan paling lama yang diperlukan siswa dari rumah ke sekolah ? 3. Data makanan favorit siswa suatu kelas adalah seperti pada tabel berikut : a. Buatlah diagram batangnya dari data tersebut b. Buatlah diagram lingkaran dari data tersebut 4. Amati data pada tabel berikut Tentukan : a. Panjang dan banyaknya interval kelas b. Batas bawah dan atas interval kelas c. Tepi bawah kelas ke-1, ke-2, ke-3, ke-4, ke-5, ke-6, dan ke-7 d. Tepi atas kelas ke-1, ke-2, ke-3, ke-4, ke-5, ke-6 dan ke-7 BAB 4 TRANSFORMASI Kurikulum 2013 Kompetensi Dasar : • Memiliki rasa ingin tahu, percaya diri, dan ketertarikan pada matematika serta memiliki rasa percaya diri pada daya dan kegunaan matemaitka yang terbentuk melalui pengalaman belajar • Mendeskripsikan lokasi benda dalam koordinat Cartesius • Memahami konsep transformasi (dilatasi, translasi, pencerminan, rotasi) menggunakan objek-objek geometri • Menyelesaikan permasalahan dengan menaksir besaran yang tidak diketahui menggunakan grafik • Menerapkan prinsip-prinsip transformasi (dilatasi, translasi, pencerminan, rotasi) dalam memecahkan permasalahan nyata. Pengalaman Belajar : Melalui proses pembelajaran materi peluang, siswa memiliki pengalaman belajar : • Terlatih berfikir kritis dan berfikir kreatif • Menemukan ilmu pengetahuan dari pemecahan masalah nyata • Dilatih bekerjasama dalam tim untuk menemukan solusi permasalahan • Dilatih mengajukan ide-ide bebas dan terbuka, • Merasakan manfaat matematika dalam kehidupan sehari-hari. Kamu tentu bercermin setiap hari. Saat bercermin kami akan melihat bayanganmu. Perhatikan dengan baik bayanganmu tersebut. Bagaimana bentuk dan ukurannya? Apakah jarak bayanganmu ke cermin sama dengan jarakmu ke cermin? Proses mencerminkan disebut pencerminan (refleksi). Pencerminan merupakan salah satu bentuk transformasi A. Koordinat Cartesius Sistem koordinat Cartesius dikemukakan pertama kali oleh seorang ahli matematika berkebangsaan Perancis, yaitu Rene Descartes (1596-1650), kemudian disempurnakan oleh Pierre de Fermat untuk sumbu yang saling tegak lurus. Istilah Cartesius diambil dari nama Latin untuk Rene Descartes yaitu Renatus Cartesius. Sistem koordinat Cartesius seperti ditunjuk¬kan pada Gambar 4.1 merupakan cara untuk menentukan letak suatu titik dengan menggunakan dua buah sumbu, yaitu sumbu mendatar yang disebut sumbu X, dan sumbu tegak yang disebut sumbu Y yang berpotongan di titik O. Perhatikan Gambar 4.1 di samping! Letak titik A ditentukan oleh jarak mulai dari O, yaitu 4 satuan ke kanan dilanjutkan dengan 6 satuan ke atas, maka koordinat titik A(4, 6). 4 disebut koordinat x atau absis. 6 disebut koordinat y atau ordinat. Letak titik B ditentukan oleh jarak mulai dari O, yaitu 6 satuan ke kiri dilanjutkan dengan 5 sa¬tuan ke bawah, maka koordinat titik B(-6, -5). Koordinat x atau absis bertanda positif jika jarak dihitung mendatar ke kanan dari O, dan bertanda negatif jika jaraknya dihitung mendatar ke kiri. Koordinat y atau ordinat bertanda positif jika jarak dihitung tegak ke atas dari O, dan bertanda negatif jika jaraknya dihitung tegak ke bawah. Gambarlah bangun ABCD dengan A(-4, -2), B(3, -1), C(5, 3), dan bentuk apakah bangun tersebut? Jawab : Bangun ABCD berbentuk jajargenjang karena sisi-sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang. B. Translasi (Pergeseran) 1. Pengertian Translasi Gambar 4.2 menunjukkan seorang anak sedang bermain prosotan. Panjang prosotan tersebut 4 meter. la meluncur dari bagian prosotan dengan kemiringan atau arah tertentu sampai di bagian bawah. Dari situasi tersebut, dapatkah kalian menentukan jauhnya jarak pergeseran dan arah pergeseran seluruh anggota tubuh anak tersebut? Jika diamati dengan cermat, maka anggota-anggota tubuh anak tersebut, misalnya kepala, pundak, dan kedua tangannya bergeser sejauh 4 meter dengan arah pergeseran yang sama. Dengan demikian, pada kejadian tersebut, seluruh anggota badan anak tersebut bergeser ke arah yang sama dengan jarak yang sama. Gambar 4.3 Gambar 4.3 di atas menunjukkan bangun ABCD digeser sampai menempati bangun A'B'C'D'. Dengan demikian, semua titik yang terletak pada bangun ABCD dipindahkan men¬empati bangun A'B'C'D' dengan jarak yang sama, dan arah yang sama. Pergeseran tersebut dapat diwakili oleh ruas garis berarah, misalnya (dibaca: ruas garis berarah PQ). Panjang PQ menyatakan jarak atau besar, sedangkan arah panah menunjukkan arah perpindahan. Perpindahan semua titik pada bangun ABCD ke titik-titik pada bangun A'B'C'D' dengan besar dan arah yang sama seperti tersebut di atas disebut pergeseran atau translasi. Pada translasi tersebut, diperoleh hubungan-hubungan berikut: • AB → A'B' (dibaca: AB meuempati A'B'), maka AB = A'B' dan AB //A'B', • AD - A'D', maka AD = A'D' dan AD // A'D', • Segi empat ABCD → segi empat A'B'C'D', maka segi empat ABCD sama dan sebangun atau kongruen dengan segi empat A'B'C'D'. Translasi (pergeseran) adalah suatu perpindahan semua titik pada suatu bidang dengan jarak (besar) dan arah yang sama. Translasi dapat diwakili oleh sebuah ruas garis berarah. Gambarlah persegi panjang EFGH dan bayangannya pada translasi (pergeseran) yang diwakili oleh ! a. Bagaimana hubungan sisi GF dan bayangannya? b. Bagaimana hubungan bangun EFGH dan bayangannya? Jawab : Menggambar persegi panjang EFGH, kemu-dian menentukan bayangannya dengan cara membuat . a. Bayangan dari GF adalah G'F'. Panjang GF = G'F' dan GF//C'F'. b. Bangun EFGH dan bayangannya yaitu bangun E'F'G'F sama dan sebangun atau kongruen. 2. Notasi Translasi dengan Pasangan Bilangan Suatu translasi, selain dapat diwakili oleh sebuah ruas garis berarah, dapat juga dinyatakan dengan pasangan bilangan , dengan x sebagai konrponen mendatar (horizontal), dan y sebagai komponen tegak (vertikal). Perhatikan Gambar 4.4! mewakili translasi , artinya translasi tersebut memin¬dahkan titik pada bidang dengan tahapan berikut: 6 satuan ke kanan, positif 4 satuan ke atas positif 6 dan 4 adalah komponen translasi, dengan 6 sebagai komponen pertama dan 4 sebagai komponen kedua. Perhatikan Gambar 4.5! mewakili translasi , artinya translasi tersebut memin¬dahkan titik pada bidang dengan langkah-langkah berikut : 5 satuan ke kanan, positif 4 satuan ke bawah negatif 5 adalah komponen translasi, dengan -4 sebagai komponen kedua Perhatikan Gambar 4.6! mewakili translasi , artinya translasi tersebut memin¬dahkan titik pada bidang dengan langkah-langkah berikut : 6 satuan ke kiri negatif 4 satuan ke bawah negatif -6 adalah komponen translasi, dengan -4 sebagai komponen kedua Dari uraian di atas, diperoleh bahwa untuk menentukan komponen suatu translasi harus dimulai dari titik awal, kemudian dilakukan pergeseran mendatar (horizontal), dilanjutkan dengan pergeseran tegak (vertikal). Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut. Translasi memindahkan titik dengan aturan berikut : • a satuan mendatar ke kanan jika a positif, atau a satuan ke kiri jika a …. . • b satuan tegak ke atas jika b positif, atau b satuan ke bawah jika b …. 3. Koordinat Bayangan Gambar 4.7 di samping menunjukkan titik A(-6,5) digeser 10 satuan ke kanan, kemudian digeser lagi 8 satuan ke bawah. Situasi tersebut, dalam translasi dapat di¬nyatakan bahwa titik A(-6, 5) ditranslasikan dengan menghasilkan bayangan A'(x', y'). • x' = 4 = -6 + 10. • y’ = -3 = 5 + (-8). Gambar 4.7 Untuk mempermudah pemahaman, dapat dinyatakan dengan cara berikut. A’ (-6 + 10,5 + (-8)) = (4, -3). Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut : Titik A(x, y) ditranslasikan dengan menghasilkan A'(x + …, y + …). 1. Tentukan bayangan titik P(-5, 3) dan Q(3, 5) masing-masing pada translasi berikut! a. b. Jawab: Perhatikan gambar di samping! a. mewakili translasi Bayangan titik P(-5, 3) pada trans¬lasi ( 6) adalah P'(-5 + 9, 3 + (-6)) = P,(…, …). b. mewakili translasi Bayangan titik Q(3, 5) pada translasi adalah Q'(3 + (-6), 5 + (-8)) = Q'(…, …). 2. Pada translasi , titik K(4a,5b) dipetakan ke titik K'(21,8 – 2b). tentukan nilai a dan b ! Titik-titik sudut pada K(4a, 5b) K’(21,8 – 2b) = (4a + 9, 5b+b) • Menentukan nilai a 4a + 9 = 21 4a = 21 – 9 4a = … a = a = … Jadi nilai a = … • Menentukan nilai b 5b + b = 8 – 2b 6b = 8 – 2b 6a + 2b = 8 8b = = … Jadi nilai, b = … 3. Titik-titik sudut pada ABC adalah A(8, 3), B(5, -3), dan C(10, -2). Pada translasi ABC dipetakan ke A’B’C’ a. Gambarlah ABC beserta bayangannya! b. Tentukan koordinat titik A', B', dan C'! Jawab : a. b. Tanslasi Bayangan dari titik A(8, 3) adalah A'(8 + (-8), 3 + 1) = A’ (…, …) Bayangan dari titik B(5, -3) adalah B'(5 + (-8), -3 + 1) = B’(…, …) Bayangan dari titik C(10, -2) adalah C'(10 + (-8), -2 + 1) = C’ (…, …) 4. Dua Translasi Berurutan Perhatikan gambar 4.8 dibawah ini ! mewakili translasi dan mewakili translasi . Gambar 4.8 menunjukkan translasi dilanjutkan dengan menghasilkan . Hal ini berarti, tranlasi diikuti menghasilkan translasi yang diwakili oleh , yaitu Kalimat “ dilanjutkan dengan ” menghasilkan , dapat ditulis dengan = ” Hubungan komponen dan terhadap komponen dapat dinyatakan dengan cara berikut : mewakili = = Bentuk di atas menunjukkan bahwa komponen diperoleh dengan menjumlahkan komponen-komponen yang seletak dari komponen dan . Oleh karena itu, symbol operasi “” dapat diganti dengan symbol “+” seperti berikut ini. = dapat ditulis menjadi = + = Dengan demikian dapat disimpulkan sebagai berikut : Untuk dua translasi berurutan dan berlaku : + = 1. Tentukan nilai a, b, p dan m pada translasi berikut ! a. + = b. + = a. + = a + (-5) = 3 a = 3 + 5 a = … -8 + 2b = 3 2b = -2 + 8 2b = … b = … b = … Jadi, nilai a = …; b = … b. + = 2p + p = -6 3p = -6 P = = … 3m + 12 = m 3m – m = -12 2m = m = … Jadi, nilai p = …, m = … 2. Sebuah kapal laut bergerak 50 mil ke Barat, kemudian melanjutkan 60 mil ke Utara menuju pelabuhan P. Dari pelabuhan P, kapal tersebut melanjutkan perjalanan berikutnya menuju pelabuhan Q dengan bergerak 110 mil ke Timur, kemudian melanjutkan 20 mil ke Selatan. Tentukan posisi akhir kapal tersebut dengan membuat grafiknya! Jawab: Perhatikan gambar berikut ! Misal posisi awal kapal adalah O(0, 0). Posisi akhir kapal tersebut adalah: Q(0 + (-50) + 110, 0 + 60 + (-20)) = Q(…, …) • Translasi pertama: Kapal bergerak 50 mil ke Barat dilanjutkan 60 mil ke Utara. Translasinya adalah • Translasi kedua: • Kapal bergerak 110 mil ke Timur dilanjutkan 20 mil ke Selatan. Translasi adalah C. Translasi (Pergeseran) (ii) Gambar 4.9 Perhatikan Gambar 4.9 Jika segitiga ABC dicerminkan terhadap garis AC, maka semua titik yang berada di depan garis AC mempunyai bayangan di belakang garis AC. Sedangkan semua titik yang berada pada garis AC akan tetap letaknya, dan disebut titik tetap atau titik invarian. Pada kertas berpetak, gambarlah titik P(3, 2), kemudian gambarlah titik-titik berikut: 1. Refleksi (Pencerminan) Terhadap Garis a. Bayangan Suatu Titik Gambar 4.10 (i) berikut menunjukkan refleksi (pencerminan) titik P terhadap cermin atau garis AB, dan titik P adalah bayangan dari P. Gambar 4.10 (ii) merupakan bentuk situasi abstrak dari situasi pada Gambar 4.10 (i). Dari gambar tersebut dapat diperoleh sifat-sifat yang terdapat pada refleksi (pencerminan) sebagai berikut. 1. Jarak titik asal P terhadap cermin (garis) AB sama dengan jarak bayangan P’ terhadap cermin (garis) tersebut. 2. Garis yang menghubungkan titik asal dan bayangannya, yaitu PP', tegak lurus terhadap cermin (garis) AB. Dengan demikian, untuk menentukan bayangan suatu titik pada refleksi terhadap garis. dapat ditentukan berdasarkan kedua sifat di atas. Selanjutnya, perhatikan kembali Gambar 4.10! Pada refleksi tersebut, titik P dipetakan ke P', ditulis P - P'. Sebaliknya, titik P' dipe¬takan ke P, ditulis P' - P. Kedua penulisan tersebut dapat digabungkan menjadi P ↔ P'. Pada gambar di samping, titik A terletak di luar garis PQ. Gambarlah bayangan dari titik A bila dire¬fleksikan terhadap garis PQ! Langkah-langkah menggambarnya sebagai berikut: (i) Dari titik A, buatlah garis AM yang tegak lurus terhadap PQ dengan menggunakan penggaris siku. (ii) Perpanjanglah garis AM sampai A' dengan panjang AM = …. Titik A' adalah bayangan dari titik A pada refleksi terhadap garis …. b. Bayangan Suatu Garis Perhatikan Gambar 4.11 berikut! Garis AB pada Gambar 4.11(i) direfleksikan terhadap garis KL. Bayangan garis AB ditentukan dengan langkah-langkah berikut: 1. Menentukan bayangan titik A, yaitu A', dan bayangan titik B, yaitu B' seperti ditunjuk¬kan pada Gambar 4.11(ii). 2. Menghubungkan titik A' dengan titik B' (Gambar 4.11(iii). Garis A'B' pada Gambar 4.11(iii) merupakan bayangan dari garis AB pada refleksi terhadap garis KL. Dengan demikian, setiap titik pada garis AB dipetakan ke titik-titik pada garis A'B', dan sebaliknya. Pada refleksi tersebut, terdapat hubungan-hubungan berikut : A ↔ A’ Maka AB ↔ A’B’ B ↔ B’ Jadi, panjang AB = … AA’ tegak lurus KL maka AA’//… BB’ tegak lurus KL Gambar 4.12 Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut. Jika sembarang garis AB direfleksikan (dicerminkan) terhadap sebuah garis menghasilkan bayangan A'B', maka: Panjang AB = A'B' dan AA' // …. c. Bayangan Suatu Bangun Untuk menentukan bayangan suatu bangun, serta hubungan antara bangun dan bayangan¬nya, lakukanlah kegiatan berikut! Menentukan Bayangan Suatu Bangun • Untuk menentukan bayangan dari ABC pada Gambar 4.13 berikut, gambarlah ba¬yangan dari titik A, B, dan C, yaitu titik A', B', dan C'! Gambar 4.13 • Hubungkan titik A', B', dan C' sehingga terbentuk A'B'C'! • Berdasarkan Gambar 4.13 yang telah kalian lengkapi, lengkapilah isian berikut ! A ↔ B ↔ C ↔ • Jadi, pada refleksi terhadap garis XY, ABC dengan A' B' C'. 2. Refleksi pada Bidang Koordinat a. Refleksi terhadap smbu koordinat Gambar 4.14 menunjukkan refeksi titik A dan B terhadap sumbu-sumbu koordinat. Titik dan B' adalah bayangan titik A dan B pada -refleksi terhadap sumbu X, sedangkan titik A” dan B" adalah bayangan titik A dan B pada refleksi terhadap sumbu Y. Pada refleksi terhadap sumbu X, diper¬eleh : A(4, 2) ↔ A'(4, -2). B(-6, -4) ↔ B'(-6, 4). Jadi, P(a, b) ↔ P'(a, …). Gambar 4.14 Pada refleksi terhadap sumbu Y, diperoleh: A(4,2) ↔ A”(-4,2) B(-6,-4) ↔ B” (6,-4) Jadi, P(a,b) ↔ P”(-a,b) Pada refleksi terhadap sumbu X, maka : P(a,b) ↔ P'(a, …). Pada refleksi terhadap sumbu Y, maka : P(a, b) ↔ P"(-a, …). 1. Tentukan bayangan titik P(-12, 25) pada refleksi terhadap : a. sumbu X, b. sumbu Y. Jawab: a. Refleksi pada sumbu X, titik P(a,b) ↔P'(a,-b). koordinat x tetap Jadi, bayangan titik P(-12, 25) adalah P'(..., …). b. Refleksi pada sumbu Y titik P(a,b) ↔ P'(-a,b). koordinat y tetap Jadi, bayangan titik P(-12,25) adalah P'(-(-12), 25) = P'(…, …). 2. Titik Q(27,-18) direfleksikan terhadap sumbu X, kemudian dibayangannya refleksikan terhadap sumbu Y. Tentukan koordinat titik bayangan terakhir! Jawab: Titik Q(27,-18) Q'(27, -(-18)) = Q'(…, …). koordinat x tetap Titik Q'(27, 18) . Q"(-27,18) koordinat y tetap Jadi, koordinat titik bayangan terakhir adalah Q"(..., …). b. Refleksi terhadap Garis yang Sejajar dengan Sumbu Koordinat Gambar 4.15 Gambar 4.15 menunjukkan refleksi titik P(a,b) terhadap garis dengan persamaan x = h. Bayangan dari titik P(a,b) pada refleksi tersebut dapat dinyatakan dengan P'(p, b), karena koordinat y (ordinat) titik P = ordinat titik P = b. Koordinat x (absis) titik P' dapat ditentukan dengan cara mencari hubungan antara nilai p terhadap a dan h dengan cara berikut. AP' = AB + BP' AP = AB + PB PB = BP' p = h + (h – a) = … Dengan demikian, pada refleksi terhadap garis x = h, maka : P(a, b) ↔ P'(…, b). Untuk menentukan bayangan titik P(a,b) pada refleksi terhadap garis dengan persamaan y = h, dapat ditentukan dengan cara seperti di atas, dengan absis titik P dan P’ sama, yaitu a. Dengan demikian, dapat ditunjukkan bahwa pada refleksi terhadap garis y = h, maka: P(a, b) ↔ P'(a, …, b). Pada refleksi terhadap garis x = h, maka: P(a, b) ↔ P'(…, b). Pada refleksi terhadap garis y = h, maka : P(a, b) ↔ P'(a, …) 1. Tentukan koordinat bayangan titik P(-5,-2) jika direfleksikan terhadap garis x = -1! Jawab: Pada refteksi terhadap garis x = h, maka : P(a,b) ↔ P'(2h – a, b). Garis x = -1, maka h = -1. Titik P(-5,-2), maka a = -5 dan b = -2. Absis titik P’ adalah 2h - a = 2(-1) - (-5) Jadi, bayangan titik P(-5, -2) adalah P'(…, -2). 2. Titik Q'(9, -18) adalah bayangan dari titik Q pada refleksi terhadap garis y = 4. Tentukan koordinat titik Q! Jawab: Titik Q(a, b) Q' (a, 2 x 4 - b) = Q'(9, -18) koordinat y berubah • Nilai a = 9 • 2 x 4 – b = -18 8 – b = -18 -b = -18 – 8 -b = … b = … c. Refleksi terhadap Garis x = y dan x = -y Gambar 4.16 Gambar 4.16 menunjukkan refleksi titik A dan B terhadap garis dengan persamaan x = h atau y = x. titik A’ dan B’ adalah bayangan titik A dan B pada refleksi tersebut. Dengan demikian, pada refleksi terhadap garis x = y atau y = x diperoleh : A(5,2) ↔ A’(2,5) dan B(-5,3) ↔ B’(3,-5) Jadi, P(a, b) ↔ P'(b, a) absis dan ordinat dipertukarkan Gambar 4.16 menunjukkan refleksi titik C dan D terhadap garis garis dengan persamaan x = y atau y = -x. Titik C‘ dan D’ adalah bayangan titik C dan D pada refleksi tersebut. Dengan demikian, pada refleksi terhadap garis x = y atau y = -x diperoleh : C(3, 6) ↔ C'(-6,-3) dan D(4,-1) ↔ D’(1,-4) Jadi, P(a,b) ↔P’(-b,-a) tanda berlawanan, absis dan ordinat dipertukarkan Pada refleksi terhadap garis x = y, atau y = x maka: P(a, b) ↔ P'(…, …). Pada refleksi terhadap garis x=-y, atau y=-x maka : P(a, b) ↔ P'(…, …) 1. Tentukan koordinat bayangan titik S(12,-7) jika direfleksikan terhadap garis dengan persamaan berikut ! a. x = y b. x = -y Jawab: a. P(a, b) . P'(b, a). S(12, -7) ↔ S'(…, …). Jadi, bayangan titik S(12, -7) adalah S'(…, …). b. P(a, b) P'(-b, -a). S(12, -7) ↔ S'(…, …). Jadi, bayangan titik S(12, -7) adalah S'(…, …). D. Rotasi (Perputaran) 1. Pengertian Rotasi (Perputaran) Pada Gambar 4.17, besar POP, = 30° dan besar POP, = 50°. Rotasi (perputaran) sejauh 30° berlawanan dengan arah per¬putaran jarum jam, memindahkan titik P ke titik Pl. Sedangkan rotasi sejauh 50° berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, memindahkan titik P ke titik P2. Selanjutnya, rotasi yang arahnya berlawanan dengan arah perputaran jarum jam disebut arah positif, sedangkan yang searah dengan arah perputaran jarum jam disebut arah negatif. Suatu rotasi (perputaran) pada bidang datar ditentukan oleh: 1. Pusat rotasi, 2. Besar sudut (jarak) rotasi, dan 3. Arah rotasi (searah atau berlawanan arah dengan putaran jarum jam). Jika berlawanan arah dengan arah perputaran jarum jam, maka sudut putarnya positif. Jika searah dengan arah perputaran jarum jam, maka sudut putarnya negatif. Perhatikan Gambar 4.18! Garis AB dirotasikan -40° dengan pusat O, menghasilkan ba¬yangan yaitu garis A'B'. Pada rotasi tersebut, A A', B - B', dan AB - A'B', se¬hingga diperoleh : (i) panjang AB = A'B', (ii) OAB kongruen dengan OA'B', (iii) titik O adalah titik invarian (tetap). Pada rotasi dengan sembarang sudut putar terdapat sifat berikut: 1. Sebuah garis sama panjang dengan … . 2. Sebuah bangun dan bayangannya kongruen atau sama dan … . Diagonal-diagonal persegi ABCD berpotongan di titik O. Tentukan bayangan titik B pada rotasi 90° dengan pusat berikut! 1. titik O, 2. titik A. Jawab : Rotasi 900 artinya rotasi sejauh 900 dan arahnya berlawanan dengan arah perputaran jarum jam. 1. 2. Bayangan titik B pada rotasi 90° Bayangan titik B pada rotasi 90° dengan pusat O adalah … dengan pusat A adalah …\ Catatan : Sudut rotasi dibentuk oleh garis yang menghubungkan pusat rotasi dengan titik asal, dan garis yang menghubungkan pusat rotasi dengan titik bayangan (hasil). 2. Rotasi pada Bidang Cartesius a. Rotasi -90° Perhatikan Gambar 4.19! Gambar 4.19 tersebut menunjukkan rotasi -90° dengan pusat rotasi O(0, 0) yang me¬metakan titik C ke C, dan titik D ke D'. Pada rotasi tersebut diperoleh hubungan berikut: Titik C(6, 4) C'(4, -6). Titik D(-4,-5) D'(-5, 4). Jadi, P(a, b) - P' (b, -a). • a dan b pada titik P' bertukar tempat. • a menjadi -a (berlawanan). Untuk setiap rotasi -90° dengan pusat rotasi O(0, 0), maka: P(a,b) P’(…,…) Gambar 4.19 b. Rotasi 90° Salin dan lengkapilah gambar dan isian berikut! Gambar 4.20 menunjukkan rotasi 90° dengan pusat rotasi O(0, 0) yang memetakan titik A ke A', dan titik B ke B'. Pada rotasi tersebut diperoleh hubungan be¬rikut: Titik A(6, 3) A'( __, __ ). Titik B(-5, -4) B'( __, __ ). Jadi, P(a, b) - P'( __, __ ). • a dan __ pada titik P' bertukar _______ • b menjadi __ ( __________ ) Untuk setiap rotasi 90° dengan pusat rotasi O(0, 0), maka: P(a, b) P'( __, __ ) c. Rotasi 180° Perhatikan Gambar 4.21! Gambar tersebtit menunjukkan rotasi 180° dengan pusat rotasi pangkal koordinat. Pada rotasi tersebut diperoleh hubungan berikut: Titik M(5, 3) M'(-5, -3). Titik N(4, -5) N'(-4, 5). Jadi, P(a, b) P'(-a, -b). • a dan b pada titik P' tidak bertukar tempat. • a maupun b menjadi berlawanan tanda. Untuk setiap rotasi 180° dengan pusat rotasi O(0, 0), maka: P(a, b) P'( …, …) Gambar 4.21 E. Dilatasi (Perkalian) 1. Pengertian Dilatasi Gambar 4.22 menunjukkan proyektor O yang berfungsi memperbesar ABC menjadi A’B’C’ pada layar. Sehingga besar A’B’C’ menjadi 3 kali ABC. Dengan demikian terdapat hubungan berikut : = = = 3 dan = = = 3 Oleh karena ABC diperbesar menjadi 3 kali, maka 3 merupakan skala pembesaran, dan O sebagai pusat pembesaran. Gambar 4.22 Pada bentuk perbandingan di atas, = 3, maka OA’ = 3OA. Dengan cara yang sama, dapat diperoleh panjang OB’ = 3OB, dan OC’. Dengan demikian, untuk memperbesar suatu bangun menjadi 3 kali ukuran semula, dapat dilakukan dengan cara berikut : 1. Memilih sembarang letak titik pusat pembesaran O. 2. Membuat garis OA’ yang panjangnya 3 kali OA (perbesaran 3 kali) Memperbesar atau memperkecil bangun disebut dilatasi atau perkalian, karena setiap sisi dari bangun tersebut dikalikan dengan suatu bilangan tertentu yang disebut faktor skala, dilambangkan dengan k. untuk memperbesar atau memperkecil bangun, letak pusat dilatasi (perkalian) dapat di dalam, di luar, atau pada tepi suatu bangun yang akan didilatasikan. Pada dilatasi, setiap titik P dipetakan ke titik P’ sehingga = k , dengan O sebagai pusat dilatasi dan k adalah faktor skala. Faktor skala = Dilatasi (perkalian) dengan pusat O dan faktor skala k dapat dinyatakan dengan notasi [O,k] 1. Salinlah gambar dibawah ini, kemudian gambarlah bayangannya pada dilatasi [O,2] dengan posisi titik O berikut : a. didalam ABC b. diluar ABC Jawab : a. b. 2. Pada gambar berikut, bangun asal digambar dengan tebal dan hasil dilatasi digambar dengan garis putus-putus. Tentukan pusat dilatasi dan factor skalanya. a. b. Jawab : Untuk menyelesaikan soal ini, perhatikanlah bahwa pusat dilatasi, titik asal, dan titik hasil (bayangan) harus terletak pada satu garis lurus. a. b. Pusat dilatasi adalalah O, dan Pusat diltasi adalah O, dan Faktor skalanya 2 faktor skalanya 3. Pada dilatasi [O,3], bayangan dari jajargenjang ABCD adalah jajargenjang A’B’C’D’. Tentukan hubungan luas kedua jajargenjang tersebut ! Jawab : Luas jajargenjang ABCD = 3 x 2 luas jajargenjang = alas x tinggi = … Luas jajargenjang A’B’C’D’ = 9 x 6 = 32 x … = (faktor skala)2 x … 2. Faktor Skala a. Faktor skala positif Pada dilatasi dengan pusat O yang memetakan titik P ke P’ hubungan antara OP dan OP’ dapat dinyatakan dalam bentuk = k dengan k sebagai faktor skala. Pada gambar 4.23, panjang OP’ = 4 x OP, sedangkan dan sama arahnya. Hubungan antara OP dan OP’ dapat dinyatakan dengan = dengan 4 sebagai faktor skala adalah … b. Faktor skala negatif Perhatikan gambar 4.24 (i). Panjang OR’ = 2 x OR, tetapi dan berlawanan arahnya. Oleh karena itu, hubungan antara OR dan OR’ dapat dinyatakan dengan menggunakan tanda negatif, yaitu = -2 dengan faktor skala = -2 Pada gambar 4.24(ii) = - , karena dan berlawanan arahnya, dan panjang OS’ = OS. Jadi faktor skalanya adalah … Pada dilatasi dengan pusat O dan faktor skala k, yang memetakan titik P ke P’, berlaku : 1. Jika k positif (k>0), maka dan sama arahnya, dan faktor skalanya = k. 2. Jika k negatif (k<0), maka dan berlawanan arahnya, dan faktor skalanya = k dengan k < 0. Perhatikan gambar 4.25 Gambar tersebut menunjukkan garis AB dengan A(6,4) dan B(-4,2) didilatasikan dengan pusat O(0,0) dan faktor skala 1 , menghasilkan bayangan A’(9,6) dan B’(-6,3). Dengan demikian, diperoleh hubungan-hubungan berikut : Titik A(6,4) A’(9,6) = A’(6 x 1 , 4 x 1 ) Titik B(-4,2) B’(-6,3) = B’(-4 x 1 , 2 x 1 ) Jadi titik P (a,b) P’(a x k, b x k) Pada gambar tersebut, garis AB juga didilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala -2, menghasilkan bayangan A’’(-12,-8) dan B’’(8,-4), sehingga diperoleh hubungan berikut : Titik A(6,4) A’’(-12,-8) = A’’(6 x (-2) 4 x (-2)) Titik B(-4,2) B’’(8,-4) = B’’(-4 x (-2) 2 x (-2)) Jadi titik P (a,b) P’(a x k, b x k) Pada dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k dengan k positif maupun negatif, berlaku rumus berikut : P (a,b) P’(a x …, b x …) 1. Pada gambar berikut, garis OP didilatasikan menjadi OP'. Tentukan faktor skalanya! a. b. Jawab : a. = Oleh karena dan searah, maka nilai k positif. Jadi, faktor skalanya adalah … b. Oleh karena dan berlawanan arah, maka faktor skala (k) negatif. c. = - atau = -2 Jadi, faktor skalanya adalah … 2. Tentukan bayangan titik P(8, -5) oleh dilatasi [O, 4]! Jawab: Dilatasi [O, 4] artinya dilatasi dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala 4. P(a,b) → P’ (a x k, b x k) P(8, -5) → P'(8 x 4, (-5) x 4) = P'(32, -20). 3. Titik P'(-4, -1) adalah hasil dilatasi dari P(8, 2) dengan faktor skala k dan pusat dilatasi O(0, 0)! Tentukan faktor skala k! Jawab: P(a, b) P' (a x k, b x k). rumus P(8, 2) → P'(8 x k, 2 x k). P'(-4, -1), maka: k x 8 = -4 atau k x 2 = -1 k = -4 k =-1 k = k = … k = … Jadi nilai k adalah … RANGKUMAN 1. Sistem koordinat cartesius Sistem koordinat Cartesius adalah cara untuk menentukan letak suatu titik dengan menggunakan sumbu mendatar (sumbu X) dan sumbu tegak (sumbu Y) yang saling berpotongan di titik O(0,0) 2. Translasi (pergeseran) Translasi adalah suatu perpindahan semua titik pada suatu bidang dengan jarak dan arah yang sama. Translasi dapat diwakili oleh ruas garis berarah atau pasangan bilangan. A’ (x + a, y + b) A’ (x + a + c, y + b + d) 3. Refleksi (Pencerminan) a. Refleksi terhadap sumbu koordinat • P(a,b) P’(a, -b) • P(a,b) P’(-a,-b) b. Refleksi terhadap garis yang sejajar dengan sumbu koordinat garis • P(a,b) P’(2h, -a, b) • P(a,b) P’(a, 2h, -b) c. Refleksi terhadap garis x = y dan garis x = -y • P(a,b) P’(b, a) • P(a,b) P’(-b,-a) 4. Rotasi (Perputaran) Rotasi pada bidang datar ditentukan oleh pusat rotasi, besar sudut rotasi, dan arah rotasi. Rotasi yang searah dengan arah perputaran jarum jam, sudutnya positif, dan yang berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, sudutnya negatif. a. Rotasi -90° dengan pusat O(0, 0) • P(a,b) P’(b,-a) b. Rotasi 90° dengan pusat O(0, 0) • P(a,b) P’(-b,-a) c. Rotasi 180° dengan pusat O(0, 0) • P(a,b) P’(-b,-a) d. Rotasi -180° dengan pusat O(0, 0) • P(a,b) P’(-b,-a) 5. Dilatasi (Perkalian) a. Dilatasi dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala k, dapat dinyatakan dengan notasi [O, k]. P (a,b) P’(a x k, b x k) b. Pada dilatasi dengan faktor skala k. Luas bangun hasil (bayangan) = k2 x luas bangun asal. UJI KOMPETENSI BAB 4 I. Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor 20, pilihlah satu jawaban yang paling tepat ! 1. Bayangan dari titik A(-6, -9) pada translasi adalah …. a. A’(2,-2) c. A’(-14,-2) b. A’(2,-16) d. A’(-14,-16) 2. Titik B'(5,-3) adalah bayangan dari titik B(-1, 2). Komponen translasi yang meme¬takan titik B ke B' adalah . . . . a. c. b. d. 3. Belah ketupat PQRS dengan P(-1, 5), Q(3, -1), dan S(3, l1) ditranslasikan dengan , ke¬mudian dilanjutkan dengan . Koordinat bayangan terakhir dari titik R adalah ... a. R"(10, 12) c. R"(14, 16) b. R"(12, 10) d. R"(16, 14) 4. Translasi yang ditunjukkan pada gambar di atas dapat dinyatakan dalam bentuk pasangan bilangan …. a. + = b. + = c. + = d. + = 5. Titik M(-1, 3) ditranslasikan dengan kemudian dilanjutkan dengan . Jika bayangannya adalah M'(7, -2), maka nilai m dan n berturut-turut adalah . . . . a. 5 dan 9 c. -1 dan 9 b. 5 dan 11 d. -1 dan 11 6. Titik L(15, -18) direfleksikan terhadap sum¬bu X, kemudian direfleksikan lagi terhadap sumbu Y Koordinat bayangan terakhir dari titik L adalah . . . . a. L"(l5, 18) c. L"(-15, 18) b. L"(15, -18) d. L"(-15, -18) 7. Bayangan dari titik K(-7, 6) pada refleksi terhadap garis x = 8 adalah .. . . a. K'(-7, 10) c. K'(9, 6) b. K'(9,10) d. K'(23, 6) 8. Titik P'(8, -14) adalah bayangan dari titik P pada refleksi terhadap garis y = -10. Koor¬dinat titik P adalah . . . . a. (8, -38) c. (6, -14) b. (8, -6) d. (-14, -14) 9. Bayangan dari titik S(25, -30) pada refleksi terhadap garis y = -x adalah .... a. S'(-30, 25) c. S'(25, 30) b. S'(-25, 30) d. S'(30, -25) 10. Titik R(-8,16) direfleksikan terhadap garis y = x, kemudian direfleksikan lagi terhadap garis x = -6. Koordinat bayangan terakhir dari titik R adalah.... a. R"(-28, -8) c. R"(4, 8) b. R"(-16, 4) d. R"(16, 4) 11. Segitiga ABC siku-siku di B dengan panjang AB = 7 cm, dan BC = 4 cm. Jika pada refteksi terhadap AC, titik B B', maka bangun ABCB' berbentuk .... a. segitiga c. jajargenjang b. persegi panjang d. layang-layang 12. Pada persegi PQRS di atas, rotasi yang me¬metakan titik P ke S adalah rotasi .... a. 45° dengan pusat R b. -45° dengan pusat R c. 90° dengan pusat O d. -90° dengan pusat O 13. Untuk gambar di atas, transformasi yang merupakan rotasi 180° adalah .... a. segitiga 1 → segitiga 3 b. segitiga 1 → segitiga 4 c. segitiga 2 → segitiga 3 d. segitiga 2 → segitiga 4 14. Titik K(12,15) dirotasikan -900 dengan pusat O(0,0) kemudian ditranslasikan dengan . Koordinat bayangan terakhir dari titik K adalah …. a. (-19,6) c. (19,-18) b. (-11,6) d. (19,-6) 15. Titik M(8,-12) dirotasikan 180° dengan pusat O(0,0), kemudian bayangannya direfleksikan terhadap garis x = 5. Koordinat bayangan terakhir dari titik M adalah .... a. (-2, 8) c. (18, 12) b. (2, 12) d. (22, 8) 16. Titik Q(-17,-20) dirotasikan 270° dengan pusat O(0,0), kemudian bayangannya dire¬fleksikan terhadap garis y = -x. Koordinat bayangan terakhir dari titik Q adalah .... a. (20,-17) c. (-17, 20) b. (17,-20) d. (-20, 17) 17. Pada gambar di atas, OB’ adalah hasil dila¬tasi dari OB dengan pusat dilatasi O. Faktor skalanya adalah .... a. c. b. d. 18. Titik P'(15, -20) adalah hasil dilatasi dari titik P(-6, 8) dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k. Nilai k adalah .... a. c. b. d. 19. Pada gambar diatas, A’B’C’D’ adalah hasil dilatasi dari ABCD dengan pusat O. factor skalanya adalah …. a. -2 c. b. d. 2 20. Segitiga ABC siku-siku di A dengan panjang AB = 12 cm, AC = 9 cm, dan BC = 15 cm. Segitiga AB'C' adalah basil dilatasi dari ∆ABC dengan pusat A dan faktor skala 3. Luas segitiga AB'C' adalah .... a. 162 cm2 c. 486 cm2 b. 324 cm2 d. 972 cm2 II. Untuk soal-soal berikut, jawablah dengan selengkapnya ! 1. a. Gambarlah ∆ABC dengan A(-3, 0), B(5, 1), dan C(-1, 5)! b. Gambarlah ∆A'B'C', yaitu bayangan ∆ABC pada refleksi terhadap garis x = 3! c. Tulislah koordinat titik A', B', dan C'! 2. Gambarlah ∆OAB dengan O(0,0), A(7,0), dan B(5, 4), kemudian gambar-lah bayangan dari ∆OAB pada rotasi yang berpusat di O dengan sudut rotasi berikut! a. 90° b. 180° 3. a. Pada bidang koordinat, gambarlah titik A(-3, 5) dan bayangannya, yaitu titik A' pada rotasi -90° dengan pusat O! b. Gambarlah titik A", yaitu bayangan dari A' pada refleksi terhadap sumbu X! c. Tulislah koordinat titik A' dan A", kemudi¬an periksalah dengan menggunakan rumus! 4. a. Gambarlah ∆PQR dengan P(-2,-3), Q(6, -3), dan R(l,1) ! b. Gambarlah ∆P'Q'R', yaitu bayangan ∆PQR pada translasi ( 5 )! c. Tulislah koordinat titik P', Q', dan R', kemudian periksalah dengan menggu¬nakan rumus! 5. Pada suatu dilatasi, segi empat PQRS dengan P(3, 1), Q(6, 1), R(6, 7), dan S(3, 7) dipeta¬kan ke segi empat P'Q'R'S' dengan P'(7, 3), Q'(8, 3), R'(8, 5), dan S'(7, 5). a. Gambarlah bangun PQRS dan P'Q'R'S'! b. Tentukan koordinat pusat dilatasi dan faktor skala pada dilatasi tersebut! BAB 5 PELUANG Kurikulum 2013 Kompetensi Dasar : • Memiliki sikap terbuka, santun, objektif, menghargai pendapat dan karya teman dalam interaksi kelompok maupun aktifitas sehari-hari • Menemukan peluang empirik dari data (output) yang mungkin diperoleh berdasarkan sekelompok data • Melakukan percobaan untuk mennemukan peluang empiric dari masalah nyata serta menyajikannya dalam bentuk tabel dan grafik Pengalaman Belajar : Melatih proses pembelajaran materi peluang, siswa memiliki pengalaman belajar : • Terlatih berfikir kritis dan berfikir kreatif • Menemukan ilmu pengetahuan dari pemecahan masalah nyata • Dilatih bekerjasama dalam tim untuk menemukan solusi permasalahan • Dilatih mengajukan ide-ide bebas dan terbuka, • Merasakan manfaat matematika dalam kehidupan sehari-hari. Dalam sebuah kandang terdapat dua ekor kelinci berwarna putih, empat ekor berwarna abu-abu, dan tiga ekor berwarna belang. Jika seekor kelinci dalam kandang tersebut diambil secara acak, dan ternyata terambil kelinci berwarna abu-abu, kemudian kelinci tersebut dikembalikan lagi ke dalam kandang. Berapa peluang terambil seekor kelinci berwarna putih pada pengambilan yang kedua? A. Pengertian Peluang Peluang suatu kejadian adalah ukuran kepastian akan terjadinya suatu kejadian. Beberapa istilah yang berkaitan dengan peluang antara lain : Percobaan statistik atau percobaan acak adalah percobaan yang dapat diulang dan hasilnya tidak dapat dipastikan sebelumnya, tetapi hasilnya pasti salah satu anggota dari suatu himpunan tertentu. Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari percobaan statistik. Titik sampel adalah setiap anggota dari ruang sampel 1. Kejadian Acak Pernahkah kalian memperhatikan sekumpulan ibu-ibu yang sedang arisan, seorang ibu mengundi nama-nama pemenang dengan menggunakan sebuah gelas. Nama pemenang yag akan keluar tidak dapat diprediksikan. Uraian tersebut menggambarkan salah satu contoh kejadian acak. 2. Kejadian Sederhana Seperangkat kartu bridge terdiri atas 13 kartu merah bergambar hati, 13 kartu merah bergambar wajik, 13 kartu hitam bergambar sekop, dan 13 kartu hitam bergambar kriting. Misalkan, sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge tersebut. Andaikan kartu yang terambil bergambar wajik, kejadian muncul kartu bergambar wajik pada pengambilan tersebut dinamakan kejadian sederhana karena munculnya kartu bergambar wajik pasti berwarna merah. Berbeda jika kartu yang terambil berwarna merah. Kejadian munculnya kartu berwarna merah dinamakan kejadian bukan sederhana karena munculnya kartu berwarna merah belum tentu bergambar wajik, tetapi mungkin bergambar hati. 3. Frekuensi Relatif dan Peluang Suatu Kejadian Frekuensi relatif (fr) munculnya kejadian K dirumuskan sebagai berikut : Contoh : Pada pelemparan dadu sebanyak 100 kali, muncul muka dadu bernomor 1 sebanyak 16 kali. Tentukan frekuensi relatif munculnya muka dadu bernomor 1. Penyelesaian : Banyak percobaan = 100 Banyak kejadian munculnya muka dadu bernomor 1 = 16 Jadi, frekuensi relatif munculnya muka dadu nomor 1 adalah …. Peluang suatu kejadian dapat dihitung melalui pendekatan frekuensi relatif. 4. Titik dan ruang sampel dalam teori peluang a. Pengertian titik sampel dan ruang sampel suatu kejadian 1) Ruang sampel adalah himpunan semua kejadian yang mungkin diperoleh dari suatu percobaan 2) Titik sampel adalah setiap anggota ruang sampel atau disebut juga kejadian yang mungkin Contoh : Tentukan ruang sampel dan titik sampel dari pelemparan sebuah dadu Penyelesaian : Kejadian yang mungkin dari pelemparan sebuah dadu adalah munculnya muka dadu bernomor 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Dengan demikian S = {1, 2, 3, 4, 5,6 } dan titik sampelnya 1, 2, 3, 4, 5 dan 6. b. Menyusun Ruang Sampel dengan cara Mendaftar Pada pelemparan tiga mata uang logam sekaligus, misalkan muncul sisi angka (A) pada mata uang ketiga. Kejadian ini dapat ditulis AGA. Kejadian lain yang mungkin dipelemparan tiga mata uang sekaligus adalah AAA, AGG, dan GGG. Jika uang sampelnya kolom tuliskan dengan cara mendaftar, diperoleh S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} sehingga n (S) = 8. c. Menyusun Ruang Sampel dengan menggunakan diagram pohon Untuk mata uang pertama kejadian yang mungkin adalah munculnya sisi angka (A) atau gambar (G). Diagram dapat kalian buat seperti gambar 5.1 (a) Untuk mata uang kedua kejadian yang mungkin adalah sama. Diagram pohonnya tampak pada gambar 5.1 (b) Kejadian yang mungkin untuk mata uang ketiga juga sama. Diagram pohon kejadian untuk pelemparan tiga mata uang tampak pada gambar 5.1 (c). Berdasarkan diagram pohon tersebut, dapat ditentukan ruang sampelnya, yaitu S = {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG} d. Menyusun Ruang Sampel dengan cara membuat Tabel Pada percobaan melemparkan dua dadu sekaligus, misalnya muncul muka dadu bernomor 2 pada dadu pertama dan muka dadu bernomor 3 pada dadu kedua. Kejadian ini dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan, yaitu (2,3). Jika muncul muka dadu bernomor 5 pada dadu pertama dan muka dadu bernomor 1 pada dadu kedua, bagaimana menyatakan kejadian itu sebagai pasangan berurutan ? Ruang sampel dari percobaan melempar dua dadu sekaligus dapat disusun dengan cara membuat tabel seperti berikut. Tebal 5.1 Tabel Ruang Sampel Pada tabel tersebut dapat dilihat terdapat 36 titik sampel sehingga n(S)=36 5. Kisaran Nilai Peluang a. Rumus Peluang Perhatikan kejadian pada pelemparan sebuah dadu. Hasil pelemparan yang mungkin adalah muncul muka dadu bernomor 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 sehingga ruang sampelnya adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Misalkan, kejadian munculnya muka dadu bernomor genap adalah G = {2, 4, 6}, banyaknya anggota himpunan G atau kejadian G dinotasikan n(G), sehingga n(G) = 3. Peluang munculnya setiap titik sampel dalam ruang sampel S sama, yaitu . Dengan demikian, peluang munculnya muka dadu bernomor genap adalah sebagai berikut p (G) = + + = p (G) juga dapat diperoleh dengan cara berikut : p(G) = Jika setiap anggota ruang sampel S memiliki peluang muncul yang sama maka peluang kejadian K yang memiliki anggota sebanyak n (K) didefinisikan sebagai berikut : p(K) = , dengan K < S Contoh : Sebuah dadu dilemparkan. Hitunglah peluang munculnya muka dadu bernomor a. 2 b. Kurang dari 4 c. 7 d. 1,2,3,4,5,6 Penyelesaian S = {1,2,3,4,5,6} maka n(S) = 6 a. Misalkan A kejadian munculnya muka dadu nomor 2 maka A = {2}, n{A}=1, dan p(A) = b. Misalkan C kejadian munculnya muka dadu bernomor kurang dari 4 maka C = {1,2,3}, n(C) = 3 dan p(C) = c. Misalkan D kejadian munculnya muka dadu nomor 7 D = {....}, n(D)=0, dan p(D) = d. Misalkan E adalah kejadian munculnya muka dadu bernomor 1,2,3,4, 5 atau 6 maka E = {1,2,3,4,5,6} atau n(E) = 6 Sehingga p(E) = b. Nilai Peluang 1) Peluang suatu kejadian nilainya dari 0 sampai 1 ditulis 0 ≤ p(K) ≤ 1 2) Peluang suatu kejadian yang tidak mungkin terjadi nilainya nol atau p(K) = 0 (kejadian terjadi nilainya nol atau yang mustahil) 3) Peluang suatu kejadian yang pasti terjadi, nilainya 1 atau p(K) = 1 (kejadian tersebut dinamakan kejadian nyata / pasti) Jika kejadian < merupakan komplemen dari kejadian K maka p(K) + p(L) = 1 atau p(L) = 1 – p(K). Misalnya peluang hari ini hujan 0,3 maka peluang hari ini tidak hujan adalah 1 – 0,3 = … Contoh : Dua puluh lima kartu diberi angka 1,2,3,4, ....., 25. Kartu tersebut dikocok. Kemudian diambil kartu secara acak (setiap pengambilan satu kartu, di kembalikan lagi). Berapa peluang terambilnya kartu berangka : a. Ganjil b. Kelipatan 3 Penyelesaian : Ruang sampel dalam percobaan ini adalah S = {1,2,3, ....., 25} sehingga n(S) = 25 a. Misalkan G kejadian terambilnya kartu berangka ganjil maka G = {1,3,5,7 ,9,11,13,14,17,19,21,23,25} sehingga n(G) = 13 peluang G adalah p(G) = Jadi, peluang terambilnya kartu berangka ganjil adalah b. Misalkan K adalah kejadian terambilnya kartu berangka kelipatan 3 maka K = {3,6,9,12,15,18,21,24} sehingga n(K) = 8. Peluang K adalah p(K) = Jadi, peluang terambilnya kartu dengan angka kelipatan tiga adalah Uji Kompetensi 1 1. Sebuah uang logam dilemparkan keatas sebanyak empat kali. Diketahui salah satu hasil yang mungkin muncul adalah angka, angka, gambar dan gambar ditulis AAGG. a. Susunlah ruang sampel dengan model diagram yang kalian sukai b. Tentukan peluang munculnya paling sedikit (i) dua angka (ii) tiga gambar 2. Dua buah dadu dilempar keatas sekaligus diketahui salah satu hasil yang mungkin adalah muncul permukaan angka 2 pada dadu pertama dan munculnya angka 3 pada dadu kedua ditulis (2,3) c. Buatlah ruang sampel dengan cara membuat tabel d. Tentukan peluang munculnya muka dadu : (ii) berjumlah 1 (iii) berjumlah 8 (iv) berjumlah 13 3. Tentukan ruang sampel peristiwa berikut : a. Mengambil bola dari kotak yang berisi 3 bola merah, 2 bola putih, dan 1 bola hitam. b. Mengambil kartu AS dari satu set kartu bridge c. Memilih bilangan genap dari 20 bilangan bulat positif pertama 4. Sebuah dadu dan sebuah mata uang logam dilemparkan ke atas bersama-sama. Sebuah hasil yang muncul muka dadu bernomor (2, A) artinya muncul muka permukaan uang 2 dan muncul angka pada permukaan uang. a. Buatlah ruang sampel dengan menggunakan diagram pohon b. Tentukan p(2,A), p(4,A), dan p(5,A) c. Tentukan p (genap G) artinya kemungkinan munculnya nomor genap pada dadu dan munculnya gambar pada uang logam. 5. Tentukan peluang munculnya sekurang-kurangnya dua angka pada pelemparan 3 mata uang secara bersamaan. B. Frekuensi Harapan Frekuensi harapan dari suatu kejadian ialah harapan banyaknya muncul suatu kejadian yang diamati dari sejumlah percobaan yang dilakukan. Fh = p(K) x N Dengan p(K) = peluang kejadian K N = banyaknya percobaan Contoh : Sebuah dadu dilemparkan ke atas sebanyak 36 kali. Berapa frekuensi harapan munculnya dadu bernomor 3 ? Banyaknya lemparan 36 kali Fh = p(K) x 36 = x … = … Jadi frekuensi harapan muncul mata dadu bernomor 3 dari 36 kali pelemparan adalah 6 kali. Jika hasil percobaan tersebut munculnya dadu bernomor 3 jauh dari harapan. Hal ini mungkin disebabkan berat pada setiap mata dadu tidak sama (dadu tidak homogen). Uji Kompetensi 2 1. Dua buah dadu dilemparkan sekaligus. Sebuah hasil yang mungkin muncul adalah (3,4). Jika percobaan dilakukan sebanyak 250 pelemparan, berapakah harapan munculnya muka dadu. a. (3,4) b. Berjumlah 7 c. Bernomor sama 2. Peluang seorang siswa lulus ujian adalah 0,75 jika terdapat 600 siswa yang mengikuti ujian. Berapa orang yang diperkirakan akan lulus. 3. Sebuah dadu dan dua buah mata uang logam dilemparkan bersama-sama. Kejadian yang mungkin muncul adalah (3, A, G). Jika percobaan dilakukan sebanyak 200 kali. Berapa kali harapan munculnya : a. (3, A, G) b. (ganjil, G, A) c. (prima, A, A) d. (genap, (G, G) 4. Diketahui bahwa peluang seorang penembak akan menembak tepat mengenai sasaran adalah 0,69. Diantara 100 orang penembak. Berapa orang yang diperkirakan menembak tepat mengenai sasaran ? 5. Sebuah uang logam salah satu mukanya diberi beban sehingga peluang munculnya gambar dua kali peluang munculnya angka. Jika uang tersebut dilemparkan 100 kali, berapakah frekuensi harapan : a. Munculnya angka (A) b. Munculnya gambar (G) Rangkuman 1. Ruang sampul adalah himpunan semua kejadian yang mungkin diperoleh pada suatu percobaan. Setiap anggota dari ruang sampel disebut titik sampel. 2. Jika setiap anggota ruang sampel S mempunyai peluang yang sama untuk muncul. Peluang kejadian K S yang memiliki anggota sebanyak n(K) idefinisikan sebagai berikut : p(K) = 3. Kisaran nilai peluang munculnya kejadian K adalah sebagai berikut : 0 ≤ p (K) ≤ 1 Jika p(K) = 1, kejadian K pasti terjadi Jika p(K) = 0, kejadian K tidak mungkin terjadi 4. Jika L komplemen dari kejadian K maka berlaku p(K) + p(L) = 1 atau p(L) = 1 – p(K) 5. Frekuensi harapan munculnya kejadian K didefinisikan sebagai berikut : Fh = p(K) x N Evaluasi 5 1. Sebuah dadu dilambungkan satu kali. mTentukan : a. Ruang sampelnya b. p(A) jika A adalah kejadian muncul mata dadu bilangan genap c. p(B) jika B adalah kejadian muncul mata dadu bilangan ganjil d. p(A) + p(B) e. Apakah A komplemen B ? jelaskan jawabamu. 2. Jika dua buah dadu berisi enam dilambungkan satu kali, tentukan : a. Ruang sampelnya b. Peluang munculnya mata dadu dengan jumlah enam c. Peluang munculnya mata dadu dengan jumlah dua belas 3. Dua keping mata uang logam dilambungkan bersama-sama sebanyak sepuluh kali, berapakah frekuensi harapan munculnya angka pada salah satu mata uang dan munculnya gambar pada mata uang yang lainnya ? 4. Sebuah dadu dilambungkan sebanyak 30 kali. Berapakah frekuensi harapan munculnya mata dadu bilangan genap. 5. Peluang setiap siswa untuk terpilih menjadi duta Karya Ilmiah Remaja di sekolah adalah 0,025. Berapa banyak siswakah yang diperkirakan akan menjadi duta Karya Ilmiah Remaja di sekolahnya, jika banyaknya siswa yang mengikuti pemilihan duta Karya Ilmiah Remaja di sekolah tersebut adalah 720 siswa ? DAFTAR PUSTAKA Anonim, 2005, Standar Kompetensi Pelajaran Matematika Sekolah Menengah Pertama dan Madrasah Tsanawiyah Kurikulum 2004, Jakarta: Depdiknas. Buchori, dkk., 2005, Matematika 1,2,dan 3, Semarang : CV Aneka Ilmu. Departemen Pendidikan dan Kebudayaan, 1993, Garis-garis Besar Program Pengajaran (GBPP) Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama, Mata Pelajaran Matematika, Jakarta. Dewi Nuharini, Tri Wahyuni, 2008, Matematika Konsep dan Aplikasinya 1, 2, dan 3, Jakarta: CV Usaha Makmur. Hartoyo, 1990, Matematika Rekreasi, Klaten : PT. Intan Pariwara. Herrhyanto, Nur, Drs., 1992/ 1993, Statistika Dasar, Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Pendidikan Dasar dan Menengah Proyek Penataran Guru SUP setara D-III, Jakarta. Kusrin, Imam, Drs., dkk, 1992, Teori dan Penerapan Matematika jilid IA, IB, dan 2A, Jakarta: Erlangga. M. Cholik A. Sugijono, 2013, Mathematics SMP/MTs, Jakarta: Erlangga. Malik, A., dkk, 1995, Matematika SLTP Kelas 1, 2, dan 3, Semarang: CV Anela ilmu. Negoro, ST. dan Hrapan H., 1998, Ensiklopedia Matematika, Jakarta: Chalia Indonesia. Sudjadi, R., dkk, 1995, Matematika SLTP Kelas 1, 2, dan 3, Depdikbud.
Minggu, 28 September 2014
LEMBAR KERJA SISWA (LKS) MATEMATIKA IB UNTUK SMP KELAS VII SEMESTER GENAP
Diposting oleh Ngatini, S.Pd di 02.53
Langganan:
Posting Komentar (Atom)
0 komentar:
Posting Komentar